計(jì)數(shù)之歸納法練習(xí)一

　　對(duì)于比較復(fù)雜的問題，可以先觀察其簡(jiǎn)單情況，歸納出其中帶規(guī)律性的東西，然后再來解決較復(fù)雜的問題。

　　習(xí)題1：10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分?

　　解：設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成an個(gè)部分。

　　n=1時(shí)，a1=2;

　　n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有2×3=6(個(gè))交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分，從而平面也增加了6個(gè)部分，即a2=2+2×3。

　　n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4×3=12(個(gè))交點(diǎn)，從而平面也增加了12個(gè)部分，即：

　　a3=2+2×3+4×3。

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　　一般地，第n個(gè)三角形與前面(n-1)個(gè)三角形最多有2(n-1)×3個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加2(n-1)×3個(gè)部分，故

　　an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

　　=2+[2+4+…+2(n-1)]×3

　　=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。

　　特別地，當(dāng)n=10時(shí)，a10=3×102+3×10+2=272，即10個(gè)三角形最多把平面分成272個(gè)部分。