1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽（B）卷第3題是：

的結(jié)果是x。那么，與x最接近的整數(shù)是____。

　　這道題并不要求求x，而求“與x最接近的整數(shù)”，這就是估計(jì)或估算。

　　估計(jì)與估算是一種十分重要的算法，在生活實(shí)踐和數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用，其表現(xiàn)形式通常有以下兩種：

　　（1）省略尾數(shù)取近似值，即觀其“大概”；

　　（2）用放大或縮小的方法來(lái)確定某個(gè)數(shù)或整個(gè)算式的取值范圍，即估計(jì)范圍。

　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小數(shù)點(diǎn)后前3位數(shù)字。

　　解：A＞1234÷3122=0.3952…

　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…

　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小數(shù)點(diǎn)后前3位數(shù)是395。

　　說(shuō)明：上述解法是采用放縮法估計(jì)范圍解答的，本題還可采用取近似值的辦法求解。解法如下：

　　將被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)舍去13位，各保留4位，則有

　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。

得它們的和大于3，至少要選多少個(gè)數(shù)？

　　解：要使所選的數(shù)盡量少，所選用的數(shù)就應(yīng)盡量大，所以應(yīng)從開(kāi)頭依次選。首先注意到：

　　從而

　　所以，至少應(yīng)選11個(gè)數(shù)。

　　說(shuō)明：（1）上述解答是采用取近似值的辦法估值的，也可以利用放縮法估值解答。解法如下：

　　所以，至少應(yīng)選11個(gè)數(shù)。

　　（2）以上解答過(guò)程中包括兩個(gè)方面，其一是確定選數(shù)的原則；其二是驗(yàn)算找到“分界聲、”，而這里的驗(yàn)算只是一種估計(jì)或估算，并不要求精確。

　　（3）類(lèi)似的問(wèn)題是至少取出多少個(gè)數(shù)，才能使取出的數(shù)的和大于2？

　　答案是7，請(qǐng)讀者自己練習(xí)。

　　例3 右面的算式里，每個(gè)方框代表一個(gè)數(shù)字。問(wèn)：這6個(gè)方框中的數(shù)字的總和是多少？

　　解：每個(gè)方框中的數(shù)字只能是0～9，因此任兩個(gè)方框中的數(shù)字之和最多是18。現(xiàn)在先看看被加數(shù)與加數(shù)中處于百位的兩個(gè)數(shù)字之和，這個(gè)和不可能小于18，因?yàn)椴还芩鼈兒竺娴膬蓚�(gè)二位數(shù)是什么，相加后必小于200，也就是說(shuō)最多只能進(jìn)1。這樣便可斷定，處于百位的兩個(gè)數(shù)字之和是18，而且后面兩位數(shù)相加進(jìn)1。

　　同樣理由，處于十位的兩個(gè)數(shù)字之和也是18，而且兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相加后進(jìn)1。因此，處于個(gè)位的兩個(gè)數(shù)字之和必是17。

　　所以，6個(gè)方框中數(shù)字之和為18＋18＋17=53。

　　例4 如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就說(shuō)這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)，

　　解：最小的四位數(shù)是1000，與1000組成一個(gè)數(shù)對(duì)的另一個(gè)四位數(shù)是 8921＋1000=9921，也就是最小一個(gè)數(shù)對(duì)是 9921與1000。同時(shí)由最大的四位數(shù)是9999，可知共有

　　9999-（9921―1）=79（個(gè)）

　　不同的被減數(shù)。所以，這樣的數(shù)對(duì)共有79個(gè)。

　　說(shuō)明：解答的關(guān)鍵在于確定符合條件的的最小數(shù)對(duì)（9921，1000），同時(shí)因?yàn)橛袔讉�(gè)不同的被減數(shù)，就有幾個(gè)不同的減數(shù)相對(duì)應(yīng)地存在，所以我們只要考慮有幾個(gè)不同的被減數(shù)即可。

　　例5 七位數(shù)175□62□的未位數(shù)字是幾時(shí)，不管千位上是0～9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)？

　　解：因?yàn)?750620÷11＝159147……3，

　　　　　　1759629÷11＝159966……3，

　　所以這個(gè)七位數(shù)是11的倍數(shù)的最小值是1750628，最大值是1759626。

　　又因?yàn)?001=7×11×13，由數(shù)的整除性質(zhì)，可知1750628加上若干個(gè)1001，或1759626減去若干個(gè)1001后，其值也是11的倍數(shù)。這樣1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍數(shù)。

　　由上述討論可知七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是7時(shí)，不管其千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

　　說(shuō)明：上述解法是利用估算確定出取值范圍再進(jìn)行討論。此題也可由能被11整除的數(shù)的特征入手解決。留給讀者思考。

　　例6 小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫(xiě)著1，2，3，…，13。從這兩個(gè)口袋中各拿出1張卡片并計(jì)算2張卡片上的數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么，其中能被6整除的乘積共有多少個(gè)？

　　解：根據(jù)題意可知，在所得到的許多不相等的乘積中，最小值是 1×1=1，最大值是13×13=169，并且1與169都不能被 6整除，這樣，在得到的許多不相等的積中，能被6整除的最小值是1×6=6，最大值是13×12=26×6，而介于1×6與26×6之間的能被6整除的數(shù)并非每個(gè)都是2張卡片上的數(shù)的積，如25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6這五個(gè)就不是。

　　所以，這些積中能被6整除的數(shù)共有

　　26-5=21（個(gè)）。

　　說(shuō)明：解答這類(lèi)問(wèn)題要特別注意：不能簡(jiǎn)單地根據(jù)最小值是6的1倍，最大值是6的26倍，就錯(cuò)誤地下結(jié)論是26個(gè)。

　　。如果取每個(gè)數(shù)的整數(shù)部分（例如1.64的整數(shù)部分是1，

　　解：關(guān)鍵是判斷從哪個(gè)數(shù)開(kāi)始整數(shù)部分是2。因?yàn)?-1.64=0.36，我們11＋19×2=49。

　　例8 有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是105，第二個(gè)數(shù)是85，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，那么第19個(gè)數(shù)的整數(shù)部分是幾？

　　總介于這兩個(gè)數(shù)之間，所以后面各數(shù)的整數(shù)部分均為91，當(dāng)然第19個(gè)數(shù)的整數(shù)部分也為91。

　　說(shuō)明：注意到每個(gè)正數(shù)都介于兩個(gè)相鄰整數(shù)n和n＋1之間，或者寫(xiě)成n≤a＜n＋1，此時(shí)n就是a的整數(shù)部分。因此確定某個(gè)正數(shù)的整數(shù)部分，實(shí)際上就是去估計(jì)它介于哪兩個(gè)相鄰自然數(shù)之間。

　　例9 求下式中S的整數(shù)部分：

　　解：根據(jù)“一個(gè)分?jǐn)?shù)，當(dāng)分子不變而分母變大時(shí)，分?jǐn)?shù)值變小；當(dāng)分子不變，分母變小時(shí)，分?jǐn)?shù)值變大”對(duì)S的分母進(jìn)行放縮。

　　不但非常麻煩，而且容易出錯(cuò)。為了求得一個(gè)數(shù)大概是多少，我們采用放縮法，以確定它的范圍，也就是估值。放縮是解答估值問(wèn)題的一種常用方法。在用這種方法時(shí)，一定要注意放縮要適當(dāng)，要合情合理。

　　一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題是

　　答案是19。

　　例10 學(xué)校組織若干人參加夏令營(yíng)。先乘車(chē)，每個(gè)人都要有座位，這樣需要每輛有60個(gè)座位的汽車(chē)至少4輛。而后乘船，需要定員為70人的船至少3條。到達(dá)營(yíng)地后分組活動(dòng)，分的組數(shù)跟每組的人數(shù)恰好相等。這個(gè)學(xué)校參加夏令營(yíng)的人有多少？

　　解：由“每輛有60個(gè)座位的汽車(chē)至少4輛”可知，參加夏令營(yíng)的人數(shù)在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240人之間。

　　由“需要定員為70人的船至少3條”可知，參加夏令營(yíng)人數(shù)在（70×2＋1=）141～（70×3=）210人之間。

　　這樣，參加夏令營(yíng)的人數(shù)在181～210人之間。又由“分的組數(shù)和每組人數(shù)恰好相等”可知，參加夏令營(yíng)的人數(shù)一定是一個(gè)平方數(shù)。而181～210之間只有196是平方數(shù)，所以參加夏令營(yíng)的人數(shù)是196。

　　說(shuō)明：解答此題的關(guān)鍵是估計(jì)人數(shù)的范圍：

　　從乘車(chē)來(lái)看，1≤第四輛車(chē)人數(shù)≤60，

　　從乘船來(lái)看，1≤第三條船人數(shù)≤70，

　　所以，181≤夏令營(yíng)的人數(shù)≤210。

　　例11 將自然數(shù)按如下順序排列：

　　1 2 6 7 15 16 …

　　3 5 8 14 17 …

　　4 9 13 …

　　10 12 …

　　11 …

　　在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，數(shù)字13排在第3行第3列。

　　問(wèn)：數(shù)字168排在第幾行第幾列？

　　分析：我們來(lái)分析一下給出數(shù)陣中每一斜行的規(guī)律。這里第2斜行的數(shù)字是3，2；第3斜行的數(shù)字是4，5，6；余此類(lèi)推。仔細(xì)觀察后我們發(fā)現(xiàn)：

　　奇數(shù)斜行中的數(shù)字由下向上遞增，

　　偶數(shù)斜行中的數(shù)字由上向下遞增，

　　我們只要找出168位于第幾斜行，再換算成原數(shù)陣中的第幾行第幾列，問(wèn)題便解決了。

　　18斜行最大的數(shù)字是171，所以168位于第18斜行。第18斜行中的數(shù)字是由上向下遞增，因此，168位于第18斜行由上向下數(shù)第（168-153=）15位，換算成原數(shù)陣的行和列，便是第15行，第（18-15＋1=）4列。

　　解法2：為方便起見(jiàn)，可將數(shù)陣按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，則原數(shù)陣變?yōu)?/p>

　　1

　　3 2

　　4 5 6

　　10 9 8 7

　　11 12 13 14 15

　　… … … … … … … … … …

　　設(shè)168位于上述數(shù)陣的第n行，則

　　1＋2＋…＋（n―1）＜168≤1＋2＋…＋n，

　　可見(jiàn)，n應(yīng)為18，即168位于上述數(shù)陣中的第18行。

　　又 168-153=15，18-15＋1=4，由數(shù)陣排列次序可知168位于上述數(shù)陣的第18行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)，從右數(shù)第15個(gè)數(shù)。將上述數(shù)陣還原為題中數(shù)陣，168在第15行第4列的位置上。

　　例12 唐老鴨與米老鼠進(jìn)行萬(wàn)米賽跑，米老鼠每分鐘跑125米，唐老鴨每分鐘跑100米。唐老鴨手中掌握著一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過(guò)這種遙控器發(fā)出第n次指令，米老鼠就以原來(lái)速度的n×10％倒退一分鐘，然后再按原來(lái)的速度繼續(xù)前進(jìn)。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過(guò)遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少是多少次？

　　解：唐老鴨跑完1萬(wàn)米需要100分鐘。設(shè)唐老鴨在100分鐘內(nèi)共發(fā)出n次迫使米老鼠倒退的指令，則在100分鐘內(nèi)米老鼠有n分鐘的時(shí)間在倒退，有（100-n）分鐘的時(shí)間在前進(jìn)，依題意有

　125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400。

　　當(dāng)　n=12時(shí)， n＋21=33，12×33=396＜400。

　　當(dāng)　n=13時(shí)，n＋21=34，12×34=442＞400。

　　所以n至少等于13，即遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少是13次。