【內(nèi)容概述】

　　等差數(shù)列的項和運算符號按某種規(guī)律排列所得算式的速算與巧算，這里有時要改變運算順序，有時需通過裂項來實現(xiàn)求和。按照給定的法則進行定義新運算。較為復雜的整數(shù)四則運算問題。

　　【典型問題】

　　2．計算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．

　　＝（1000＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋…＋（108＋107－106－105）＋（104＋193－102－101）

　　＝4＋4＋…＋4＋4＝［（1000－101）÷1＋1］÷4×4＝900

　　4．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2×n＋1）÷6，計算：15×15＋16×16＋…＋21×21．

　　＝21×（21＋1）×（2×21＋1）÷6－14×（14＋1）×（2×14＋1）÷6

　　＝3311－1015＝2296

　　6．計算：3333×5555＋6×4444×2222．

　　＝3×1111×5×1111＋6×1111×4×2×1111＝15×1111×1111＋2×3×1111×1111×4×2

　　＝1111×1111（15＋48）＝1111×1111×63＝1111×1111×9×7

　　＝9999×7777＝（1000－1）×7777＝77770000－7777＝77762223

　　8．兩個十位數(shù)1111111111與9999999999的乘積中有幾個數(shù)字是奇數(shù)?

　　解1：1111111111×9999999999

　　＝1111111111×（10000000000－1）＝11111111110000000000－1111111111＝1111111118888888889

　　有10個數(shù)為奇數(shù)。

　　解2： 1×9 　 ＝ 9 奇數(shù)的個數(shù)為1

　　11×99 ＝ 1089 奇數(shù)的個數(shù)為2

　　111×999 ＝110889 奇數(shù)的個數(shù)為3

　　1111×9999 ＝11108889 奇數(shù)的個數(shù)為4

　　… …

　　11111111111×999999999＝1111111110888888889 奇數(shù)的個數(shù)為10

　　顯然其奇數(shù)的個數(shù)為10。

　　10．求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．

　　解：通過這個題，學“裂項”。看：

　　1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；

　　3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……

　　可以發(fā)現(xiàn)：n×（n＋1）×3÷3＝［n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）］÷3

　　于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3

　　＝9×10×11÷3＝330

　　注意隔位抵消

　　12．在兩個數(shù)之間寫上一個?，用所連成的字串表示用前面的數(shù)除以后面的數(shù)所得的余數(shù)，例如： 13?5=3，6?2=0．試計算：（2000?49）?9．

　　解：2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以結(jié)果是4。

　　14．對于自然數(shù)1，2，3，…，100中的每一個數(shù)，把它非零數(shù)字相乘，得到100個乘積（例如23，積為2×3=6；如果一個數(shù)僅有一個非零數(shù)字，那么這個數(shù)就算作積，例如與100相應(yīng)的積為1）．問：這100個乘積之和為多少?

　　解：從1，2，…，9， 的乘積的數(shù)字和是45；

　　從11，12，…，19 的乘積的數(shù)字和是1×45；

　　從21，22， …，29， 的乘積的數(shù)字和是2×45，

　　…，

　　從91，92，…，99， 的數(shù)字和是9×45；

　　而10，20，…，90， 的數(shù)字和是45，

　　100的為1，故，其總和為：

　　（1＋1＋2＋3＋…＋9＋1）×45＋1＝47×45＋1＝2116