記者走訪近10所重點中學發(fā)現(xiàn) 入學摸底測試數(shù)學是難點 研究生體驗后表示——

　　小升初分班考≈國考+競賽

　　本周，今年“小升初”進入“最后一戰(zhàn)”階段，全市大部分重點中學將于本月完成“入學摸底測試”。由于現(xiàn)在小升初沒有統(tǒng)一考試了，名校生源“不整齊”，因此分班考試是孩子們一路過關(guān)斬將，升入初中后，從“虎班”進入“龍班”的唯一途徑。

　　記者搜羅了人大附中、首師大附中、師達中學、十三中分校等近10所名校的分班考題發(fā)現(xiàn)，在最后的“獨木橋”上，數(shù)學題是難點，奧數(shù)做主打，題型比較多。有研究生體驗后發(fā)現(xiàn)，“小升初”數(shù)學考題形似國考、神似競賽。

　　考什么？

　　分班考試奧數(shù)占“重頭”

　　人大附中初中數(shù)學老師寧少華向記者介紹，根據(jù)往年經(jīng)驗，大部分學校分班考試科目涉及語、數(shù)、外3科（也有只考奧數(shù)的），但是主要還是看數(shù)學成績，考查學生的綜合能力與拓展能力。

　　其中，奧數(shù)題所占比重最大，主要考查學生的數(shù)學思維，題型都是中學數(shù)學、物理等學科中將會用到的，如行程、直線型面積、數(shù)論等。

　　數(shù)學考題=30%小學課堂知識 （難度小）+65%小學奧數(shù)內(nèi)容 （難度大）+5%初一簡單知識內(nèi)容（難度小）

　　題型分布表

　　分數(shù)裂項 濃度問題整除問題 弦圖邏輯綜合 概率列方程解應用題 公式類行程問題整數(shù)裂項與換元 歸納與遞推復雜工程問題 直線型面積變速變道問題 最值問題綜合

　　怎么考？

　　理清思維脈絡重點 5種解題思路可循

　　記者統(tǒng)計梳理了今年近10所名校“小升初”的數(shù)學考題，學而思“小升初”

　　奧數(shù)名師劉森至指出，解題過程中要使思維脈絡清晰化，思維脈絡的重點理清了，一切問題也就迎刃而解了，并歸納出5種解題思路。

　　解題思路一：假設法

　　典型題目：在老北京的一個胡同大雜院里，住著4戶人家，巧合的是每家都有一對雙胞胎女孩。這四對雙胞胎中，姐姐分別是

　　ABCD，妹妹分別是abcd。一天，一對外國游人夫婦來到這個大雜院里，看到她們8個，忍不住問：“你們誰和誰是一家的啊？”

　　B說：“C的妹妹是d。”C說：“D的妹妹不是c。”A說：“B的妹妹不是a。”D說：“她們?nèi)齻�人中只有d的姐姐說的是事實。”

　　如果D的話是真話，你能猜出誰和誰是雙胞胎嗎？

　　專家解析：假設B說的是事實，則C就是d的姐姐，按D的依據(jù)就是C也為真，那么出現(xiàn)有兩個人說的是事實，與題意矛盾，所以B說的不是事實，同時也知道C不是d的姐姐，則B、C的話都是假的，所以只有A說的是真話，則A就是d的姐姐，A說B的妹妹不是a，又不可能是d，所以B的妹妹只可能是b或c。根據(jù)C的假話知道D的妹妹就是c，B的妹妹就是b，最后C的妹妹就是a。

　　解題思路二：計算法

　　典型題目1：烏龜和兔子賽跑的原版，是由于兔子過于貪玩烏龜勝出了。現(xiàn)在有一總長4.2km的路程，兔子每小時跑

　　20km，烏龜每小時跑3km。烏龜不停地跑。但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分鐘，然后玩15分鐘。又跑2分鐘，再玩15分鐘……那么，先到終點的比后到終點的要快多少分鐘？

　　專家解析：根據(jù)它們的行駛速度可首先推斷出各自所用時間：烏龜跑了4.2÷3×60＝84分鐘，兔子跑了4.2÷20×60＝12.6分鐘，兔子在跑完全程所用的時間為1＋15＋2＋15＋3＋15＋4＋15＋2.6=72.6分鐘。

　　所以兔子先到終點，并且快于烏龜84－72.6＝11.4分鐘。

　　典型題目2：一個人在一個大戶人家里做仆人。大戶人家的主人給仆人一根3尺長，寬厚均為1尺的木料，讓仆人把這塊木料做成木柱。仆人就把這塊木料放到秤上稱了一下，知道這塊木料重3kg，即將做成的木柱只重

　　2kg。于是仆人從方木上砍去1立方尺的木材，但主人認為仆人這樣做不合理。仆人該怎么向主人解釋呢？

　　專家解析：仆人可以做一個箱子，保證箱子內(nèi)部的尺寸與最初的方木相同，然后將雕刻好的木柱放入箱子內(nèi)，再向箱子里加入沙土，直至把箱子完全填實，并且使箱內(nèi)沙土與箱口齊平。

　　之后仆人可以輕輕將木柱取出，保證不帶出沙粒，再把箱內(nèi)的沙土搗平，量出剩余的深度為1尺，即木柱所占的空間為2立方尺。即證明仆人砍的沒錯。

　　解題思路三：排除法

　　典型題目1：張濤、李明和趙亮三人住在三個相鄰的房間內(nèi)，他們之間滿足這樣的條件：

　　（1）每個人喜歡一種寵物，一種飲料，一種啤酒，不是兔就是貓，不是果粒橙就是葡萄汁，不是青島就是哈爾濱；（2）張濤住在喝哈爾濱者的隔壁；（3）李明住在愛兔者的隔壁；（4）趙亮住在喝果粒橙者的隔壁；（5）沒有一個喝青島者喝果粒橙；（6）至少有一個愛貓者喜歡喝青島啤酒；（7）至少有一個喝葡萄汁者住在一個愛兔者的隔壁；（8）任何兩人的相同愛好不超過一種。

　　問：住中間房間的人是誰？

　　專家解析：根據(jù)條件1，每個人的三愛好組合必是下列組合之一：A．葡萄汁，兔，哈爾濱；B．葡萄汁，貓，青島；C．果粒橙，兔，青島；D．果粒橙，貓，哈爾濱；E．葡萄汁，兔，青島；F．葡萄汁，貓，哈爾濱；G．果粒橙，兔，哈爾濱；H．果粒橙，貓，青島。根據(jù)條件5，可以排除C和H。

　　于是，根據(jù)條件6，B是某個人的三嗜好組合；根據(jù)條件8，E和F可以排除；再根據(jù)條件8，D和G不可能分別是某兩人的三嗜好組合；因此A必定是某個人的三嗜好組合； 然后根據(jù)條件8，可以排除G；于是余下來的D必定是某個人的三愛好組合。

　　根據(jù)2、3和4，住房居中的人符合下列情況之一：喝青島而又愛兔，2.喝青島而又喝果粒橙，3.愛兔而又喝果粒橙。既然這三人的三愛好組合分別是A、B和D，那么住房居中者的三愛好組合必定是A或者D，那么三個人的房間排序如下所示：B、A、D或B、D、A。

　　根據(jù)條件7，可排除D；因此，根據(jù)條件4，趙亮的住房居中。

　　典型題目2：有10個人站成一隊，每個人頭上都戴著一頂帽子，帽子有

　　3頂紅的，4頂黑的，5頂白的。每個人不能看到自己的帽子，只能看到前面的人的，最后一個人能夠看到前面9個人的帽子顏色，倒數(shù)第二個人能夠看到前面8個人的帽子顏色，以此類推，第一個人什么也看不到。

　　現(xiàn)在從最后面的那個人開始，問他是不是知道自己所戴帽子的顏色，如果他回答不知道，就繼續(xù)問前面的人。如果后面的9個人都不知道，那么最前面的人知道自己顏色的帽子嗎？為什么？

　　專家解析：最后一個人不知道自己所戴帽子的顏色，那么他的帽子和剩下的兩頂帽子屬于兩種以上的顏色，通過排除，知道他的帽子和剩下的兩頂帽子分屬于三種顏色，第九個人不能判斷自己所戴帽子的顏色，也是如此，以此類推，第一個人就能知道自己帽子的顏色為白色。

　　解題思路四：分析法

　　典型題目：兩個直徑分別是2和4的圓環(huán)，如果小圓在大圓內(nèi)部繞大圓轉(zhuǎn)一周，那么小圓自身轉(zhuǎn)了幾周？如果在大圓的外部轉(zhuǎn)，小圓自身又要轉(zhuǎn)幾周呢？

　　專家解析：兩圓的直徑分別為2、4，那么半徑分別為1、2。假如把大圓剪開并拉直，那么小圓繞大圓轉(zhuǎn)一周，就變成從直線的一頭移動到另一頭。因為這條直線長就是大圓的周長，是小圓周長的2倍，所以小圓需要滾動2圈。

　　但現(xiàn)在小圓在沿大圓滾動的同時，自身還要轉(zhuǎn)動。小圓在沿著大圓滾動1周并回到原出發(fā)點的同時，小圓自身也轉(zhuǎn)了1周。

　　如果小圓在大圓的內(nèi)部滾動，其自轉(zhuǎn)的方向與滾動的轉(zhuǎn)向相反，因此小圓自身轉(zhuǎn)了1周；如果小圓在大圓的外部滾動，其自轉(zhuǎn)的方向與滾動的轉(zhuǎn)向相同，因此小圓自身轉(zhuǎn)了3周。

　　解題思路五：觀察法

　　典型題目：觀察圖形：○●○●●○●●●●○●●●●●●●●○……前200個珠子中有多少個黑色的？

　　專家解析：看圖形可知，白色珠子一次一個，黑珠子除第一個外，其余是按照2的n次方的規(guī)律排下去。第一塊黑珠子有1個，第二塊有2個，第三塊有2*2=4個，第四塊有2*2*2=8個，第五塊有2*2*2*2=16個，第六塊有2*2*2*2*2=32個，第七塊有 2*2*2*2*2*2=64 個 ， 第八塊有2*2*2*2*2*2*2=128個。

　　這樣可推斷出，前200個珠子中有8個白的，有192個是黑的。

　　研究生體驗

　　形似國考題神似競賽題

　　記者拿著搜羅的分班考試題找到正在清華大學就讀研究生二年級的李永新，僅10道題，他就做了近兩個小時，A4大的草稿紙用了2張，密密麻麻畫滿了演算圖、公式、思路過程。

　　“這和我去年年底參加公務員考試的題目非常接近。”他表示，從題目看和國考題非常相似，解題就是繞圈子，需要考生的分析能力超強，解題對外經(jīng)貿(mào)大學大四學生王曼寧在做過試題后告訴記者，去年年底，她參加了全國大學生數(shù)學競賽，現(xiàn)在做這些題，好像似曾相識。有些分析題已經(jīng)涉及大學知識點，并需要利用數(shù)學建模的知識。

　　●名詞解釋

　　數(shù)學建模

　　當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎上，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子。

　　也就是數(shù)學模型，然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數(shù)學模型的全過程就稱為數(shù)學建模。

　　本版文/記者蒲長廷王晟