格點(diǎn)與面積習(xí)題講解一
如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)（如下圖中的紅點(diǎn)），把圖中相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離看著一個(gè)單位長(zhǎng)度，把每個(gè)小正方形的面積看作一個(gè)面積單位（如圖中帶陰影的方格）。
一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形，本講就，學(xué)習(xí)求格點(diǎn)多邊形的面積問(wèn)題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，一般有三種 方法：①規(guī)則的格點(diǎn)多邊形，可以運(yùn)用多邊形的面積公式求出面積；②一些簡(jiǎn)單而又特殊的格點(diǎn)多邊形，可以通過(guò)數(shù)格子求出面積；③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形，一般用 皮克公式計(jì)算。其中數(shù)格子的方法比較原始，很少用。
任意格點(diǎn)多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)及圖內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：
格點(diǎn)多邊形面積=圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1
這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。
皮克定理的證明：
將格點(diǎn)圖中的每個(gè)點(diǎn)看作以這個(gè)點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊 形邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個(gè)多邊形，且多邊形每個(gè)角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個(gè)圓，少了其外角對(duì)應(yīng)的扇形面積，因任意多邊形的外角和 是360度，正好是個(gè)整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1
所以格點(diǎn)多邊形面積為：圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)+周界格點(diǎn)數(shù)÷2-1。
皮克定理的證明過(guò)程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認(rèn)識(shí)格點(diǎn)面積公式，掌握格點(diǎn)面積公式的應(yīng)用，到初中還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)皮克定理。
