作為一名數學老師與數學研究者，我一直在思考，數學到底是怎樣一個體系，應該怎么教授數學這一學科。接觸的多了，思考的多了，有了一些自己的總結與心得，愿與大家分享。

　　首先的一個問題是，數學是什么?這個問題，從不同的角度來看，有不同的答案。一般來說，經典的定義是，數學是一門研究客觀實在的數量關系和空間位置關系的一門學問。而我的回答則是，數學是一門語言。我們知道，語言的作用是交流，通過怎樣的方式來交流呢?通過描述的方式來交流。也就是語言的作用主要體現在“描述”上，通過描述所要表達的對象，來達到交流的目的。那么數學這一語言描述的是什么呢?是通過怎樣的方式來描述的呢?它到底是怎樣一個體系呢?下面我逐層來回答這些問題，并相應地提出如何培養數學思維。

　　首先，數學是對客觀實在的描述和總結。什么是數學?顧名思義，數學就是關于數的學問。數學描述的是客觀的數量關系和空間位置關系。數學是對現實世界的一種數量描述，是對客觀規律的一種抽象總結。所以第一步我們要在現實中、生活中去感知數學，體悟數學。也就是說，第一步，我們要形象地、直感地學數學。

　　小孩子認識世界一般通過直感，也就是直接形象地去感知世界，而不是分析。比如，我們問小孩子為什么怕火，他們會把燒傷的手伸出來，說燙。這是最直接的感覺。一般而言，小學生學數學主要也是通過直感來認知的。想想我們小時候，最初是怎么學數學的?小時候學1+2=3，怎么學呢?拿一個蘋果，再添上兩個蘋果，數數是三個蘋果。所以1+2=3。這都需要通過現實中的東西來感覺，來認知。記得我們小時候學算術，都是通過數手指頭來幫助運算的。后來學的數大起來了，手指頭不夠用了，怎么辦呢?我比較聰明，就撿了一堆小石子，一遇到算術問題就數石子。

　　通過直感來認識世界，是最原始的本能。甚至可以說是無師自通的。所以即使沒有讀過書的人，也懂得如何計算數的加減乘除。小學生學數學主要就是通過這種形象的、直感的方式學習數學的�，F在我們已經是中學生了，相應地學數學的方法也有了改變。

　　我們知道，小學時候的數學主要還是和具體的數字打交道。到中學后，就脫離具體的數字，主要和抽象的字母和數學符號打交道了。中學數學的主體是代數和幾何，而幾何也主要是通過字母來表示和運算的。代數，顧名思義，也就是代替數字，用抽象的字母和符號來代替具體的數字。從這角度來看，我們能很清楚地看出中學數學和小學數學的本質區別之何在。很多人以為中學數學只是比小學數學多學了一些知識，實際并不然，小學數學到中學數學，最重要的并不是那些知識，而是思維方式的轉變，從形象的直感思維向抽象的邏輯思維轉變。

　　現在再計算1+2=3，我們當然不必再數手指頭了，直接就可以得出答案。這一方面是因為計算經驗很多，熟能生巧。另一方面，則是因為我們已經可以脫離直感來計算了，不必借助外界中具體的形象來思考，可以直接通過抽象的邏輯來運算。這時候就到了第二個層次，要抽象地、邏輯地看數學。

　　第二，數學是一個邏輯體系，是邏輯的代言，是通過邏輯的方式來描述客觀實在的。去年我和浙大人文學院的教授余式厚老師合作，編寫一套《邏輯達人》系列的圖書，我們大概六七個人一天到晚地忙碌。我曾有詩記之。

　　詩書實腹酒實樽，

　　樓外寒冬樓內春。

　　梅凋鶴去尋無意，

　　家事國情兩不聞。

　　其中我主要編寫的一個分冊就是《邏輯與數學的聯姻》。為此我專門寫了一篇文章《邏輯與數學的聯姻》，來闡述邏輯與數學之間的關系。

　　《邏輯與數學的聯姻》

　　數學，自來被認為是邏輯的代言。一種說法認為，一門學問能成為一門科學，必須有數學的介入。這個說法雖有些偏頗，但我認為確有其道理。

　　一般來說，學問分為兩大類，一是科學，一是藝術。藝術源于想象，科學源于實踐——

　　當然，藝術的想象是基于實踐的想象，科學的實踐也是基于想象的實踐。一門

　　學問能成為一門科學，必須要對實踐過程中發生的繁雜的現象作一個分類，從而進行概括、梳理、歸納，進而探索其本質原因。簡而言之，一門學問科學化的過程，

　　就是實踐化、抽象化、概念化、條理化、體系化的過程。在這一過程中，邏輯理所當然地發揮了不可替代的作用。所以，我認為“一門學問能成為一門科學，必須有

　　數學的介入”這一說法，實質上是“一門學問能成為一門科學，必須有邏輯的介入”。只有邏輯介入，我們才能對那些隨機的、偶然的、表象的、繁復的現象，進行

　　分類、歸納、總結，從而實現人為的復制。到這時，一門學問才真正成為一門完整的、成熟的科學。對于人類而言，野蠻與文明的分野，恰是邏輯的開端。

　　人類自認識外界開始，就在進行量的探索，在數的領域中翱翔。所以有歷史學家考證認

　　為，會計學是科學的開端。事實上，對于數與量的探索，離不開對現實現象的抽象、歸納、與總結;同樣，沒有數量提供的一片原始的、廣闊的天地，抽象、歸納、

　　總結這些系統性的方法也難以大展拳腳，其威力也難以得到充分的發揮。簡而

　　言之，離開了數學的邏輯，難以發揮其作用;離開了邏輯的數學，難以形成其體系。數學是邏輯的載體，邏輯是數學的精神。所以，我認為在數學與邏輯之間，存在

　　著一種互相促進、互相補充、互相成就，甚至互相表達、互相代言的關系。因此，數學也就水到渠成地被認為是邏輯的代言。也就理所當然地有了“一門學問能成為

　　一門科學，必須有數學的介入”這一說法。

　　以上的說法，絕對不是無稽之談。一般認為，兩千多年前成書于古希臘的《幾何原本》

　　是數學的集大成之作，同時也是邏輯學應用的集大成之作。這是很早之前邏輯學與數學就已進行聯姻的一個明證。包括美國總統林肯在內的千千萬萬的人，都是通過

　　學習《幾何原本》來訓練自己的邏輯思考能力的。

　　考慮到邏輯與數學的這種歷史淵源與現實關系，在本套《邏輯達人》系列叢書中，我們特意編寫了這本《邏輯與數學的聯姻》，再次展現邏輯學與數學之間微妙的關系，以及兩者融合后所散發出的無窮的魅力。

　　既然數學與邏輯之間有如此緊密的聯系，我們就不能孤立地將它們分裂開來。我學數學是非常注重數學的邏輯性的。在邏輯上能將數學融會貫通后，再隨心所欲地發

　　揮數學的創造性，這是學習數學的正途。據我自己總結，我學數學的方法就是我所說的“三化方法”：概念的抽象化、思維的條理化、邏輯的體系化。其中概念是對

　　思考對象的抽象總結，是邏輯賴以存在的根基，可以說沒有概念就沒有邏輯，所以我們要深入地、抽象地去理解概念，而不能流于直觀和表面。我曾寫過一篇《我的

　　邏輯觀》簡述我對邏輯的思考：

　　《我的邏輯觀》

　　去年冬天在余式厚老師處編寫《邏輯達人》系列叢書。我們大概六七個人一天到晚地忙碌。我曾有詩記之。

　　詩書實腹酒實樽，

　　樓外寒冬樓內春。

　　梅凋鶴去尋無意，

　　家事國情兩不聞。

　　因為我的數學功底不錯，便主要負責編寫《數學與邏輯的聯姻》這一分部，整天埋首于

　　邏輯問題和數學問題，間或幫著答疑解惑。我是以數學和邏輯立足根基的，不敢自夸有成，亦小有所得。我的邏輯學不是來自于書本或其他人的教授，純粹是我自己

　　從數學的學習與思考中體悟、總結來的，是數學的副產品，是我自己的

　　邏輯學。雖不博大精深，但還算切實有用。這里我并不想過多地談邏輯，因我未系統學過邏輯學，也或有誤導讀者之嫌。所以這里只是簡單介紹一下我的邏輯觀。

　　我認為邏輯只是定義與性質、性質與定義，定義與定義、性質與性質之間的等價或包含

　　關系。欲有邏輯，必先有定義，也必先有性質，然后則邏輯自然生成。所謂定義，就是對某一思考對象的人為的抽象總結，抽象出其最基本、最本質的性質，這一性

　　質與這一定義完全成最簡等價關系。所謂最簡等價，便是沒有、也不需

　　要多余的條件，兩者獨立互為充分必要條件的關系。這一定義便表示這一性質，這一性質也便等同這一定義，兩者之間完全劃等號。例如我們講平行四邊形，何為平

　　行四邊形的定義?有人說兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等，兩組對角分別相等、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。這便錯了，因為這不是最簡等價

　　關系，而是把定義與性質亂糟糟混合在一起，不明所以。事實上平行四邊形的定義只是“兩組對邊分別平行的四邊形”。一個四邊形是“平行四邊形”，便表示“兩

　　組對邊分別平行”，一個四邊形“兩組對邊分別平行”，便表示它是“平行四邊形”。對于四邊形而言，“平行四邊形”與“兩組對邊分別平行”兩者之間完全劃等

　　號。其它的諸如兩組對邊分別相等、兩組對角分別相等、兩條對角線互相平分，都是在這一定義的基礎上通過邏輯推導出來的，只是它的衍生性質——當然可以證明

　　它們也都是等價的。

　　定義從何而來?定義來自于概念。所謂概念便是人們對事物本身的認識，我字面理解一

　　下，就是人對事物本身概括地思考它是什么。簡單來說，我認為概念就是沒完全脫離實體存在的、不成熟的定義。概念來自于哪里?我認為概念來自于常識。所謂常

　　識，便是人們對思考對象經過積累的、直接的、實踐性的、感覺性的認

　　識。另外補充一下，我認為邏輯賴以存在的公理、公設也是對常識的抽象總結。所以我認為，邏輯是常識的抽象影像，或說邏輯只是常識的另一種抽象的表述形式。

　　邏輯與常識經常表現出高度的一致，原因也在于此。其實日常生活中，很多人都是把邏輯與常識混為一談了，錯把常識當邏輯。舉例來說，如果我說因為今天陰天，

　　所以今天不會下雨。別人會說我說話不合邏輯。事實上，這句話無干邏輯，只是不合常識。對于一般人來說，是常識告訴我們陰天往往會下雨，而不是邏輯。那么怎

　　么才關系到邏輯呢?如果我們給“陰天”和“下雨”下個定義，便是邏輯的問題了。比如，我們定義“陰天”為“由于天空中水滴很多而凝聚成云，從而引起的一種

　　陽光很少或不能透過云層,

　　天色陰暗的天空狀況”，定義“下雨”為“空氣中凝結的小水滴從天空中落下來”。那么“陰天往往會下雨”便是一個邏輯問題了。“陰天”表示“空氣中小水滴很

　　多”，“小水滴很多”則“凝結起來降下來”的概率就很大，這便是往往會“下雨”了。

　　理清了邏輯與定義的關系，理清了邏輯與常識的區別，然后才能逐步理解何謂邏輯，在此基礎上才能最好地、準確地運用邏輯。脫離了常識談邏輯，基本上只是做做頭腦游戲，沒多大意義。

　　記得在余老師處，每天都是我們自己燒菜，洗潔精用得很快。有一次余老師一次性購買了三瓶洗潔精，一位女生問他為何不買桶裝洗潔精。余老師愕然問道：“洗潔精有桶裝的么?”我笑道：“余老師，您邏輯學雖然好，可是只有邏輯是不夠的，還需要常識。”滿屋哄然大笑。

　　其實對于生活而言，只有邏輯和常識還是不夠的，這兩者只是人們對身外的認識，另外

　　還需要對心內的訴求，這便是信念。信念無干邏輯，無干常識，無需經過理性的審查，只是一個“信”字，所謂“信則靈”。然而我們不能因為信念無需經過理性的

　　審查，便說信念不理性。事實上經過優勝劣汰的選擇，信念與理性是呈現高度一致性的——雖然并不完全一致。

　　我一直用邏輯體系安排自己的生活，最終卻發現了兩個互相矛盾的公設。自由與責任，難矣哉兩全。其中的協調與取舍實在令人頭疼。單純的邏輯是沒有意義的，還需要信念與常識�？v使邏輯不能幫我解決所有問題，我還有理性。當然，偶爾也可以借鑒一下隨機體系。

　　基于以上所說，第二步，我們要抽象地、邏輯地學數學。這是中學必須要完成的一個培養。至于怎么學呢?我有以下三個總結：

　　(一)加深對概念與公理的理解，從抽象、邏輯上理解，而不能流于直觀化、表面化(而這正是大多數學生的問題所在);

　　(二)學會對概念與公理的運用，并融入潛意識，形成本能。一切問題都回歸到基本的概念與公理，并從概念與公理出發進行邏輯推導。我認為這將會培養學生深刻理解問題本質，從基本假設出發建立理論體系的能力，對學生日后的發展將有不可估量的影響;

　　(三)強化思維訓練，加強思維的靈活與開闊，打破僵化的思維模式，學會正確的思考方法。以我的經驗，我認為，多思考、分析趣題、難題，并思考其之思考，是比較有效的方法。

　　最后，數學就是一套思維方法，是溝通形象與抽象的一座橋梁。數學要培

　　養的就是能夠從直觀的、具體的形象中抽象出邏輯概念，又能夠把抽象的概念翻譯成直觀的、具體的形象，但是又不是簡單地等同于直觀對象的能力。我所看到的數

　　學家大部分都是這樣的，在他們眼中，抽象的概念本身就像是直觀可以感知的東西。(當然也有一些代數學家能夠直接地進行抽象的思考)。這是思維的高級階段，

　　已經是形象思維和抽象思維完全融為一體，無所謂形象還是抽象了。

　　通過以上敘述，我們可以看出，小學階段，我們主要通過形象、直感的思維方式學數學，并逐漸通過形象、直感的方式，培養抽象的、邏輯的思維方式。中學階段

　　——包括初中和高中——則主要培養并加強抽象的、邏輯的思維，并逐步完成邏輯的概念化、條理化和體系化。如果大學還要就一步深修數學，則還要培養將形象、

　　直感的思維與抽象的、邏輯的思維通匯貫通，融為一體的化合思維。也即是我所說的，抽象之抽象，謂之悟。這時則可以體現出數學的創造性和思想性。

　　以上所談思維的三個階段，就像人生的三重境界，第一境界，看山是山，看水是水;第二境界，看山不是山，看水不是水;第三境界，看山還只是山，看水還只是

　　水。小孩子的形象的直感思維，就是第一境界，看山是山，看水是水。中學要培養的抽象的邏輯思維，是第二境界，看山不是山，看水不是水。再然后才是第三境

　　界，看山還只是山，看水還只是水。這時形象的直感思維和抽象的邏輯思維已經融為一體了，分不清彼此。這是思維的最高層境界。