在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱之為“最大最小問題”。“最大”、“最小”是同學(xué)們所熟悉的兩個(gè)概念，多年來各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中屢次出現(xiàn)求最值問題，但一些學(xué)生感到束手無策。
一、枚舉法
例1 一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有4把鑰匙4把鎖。但不知哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖？
（北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
分析與解 開第一把鎖，按最壞情況考慮試了3把還未成功，則第4把不用試了，它一定能打開這把鎖，因此需要3次。同樣的道理開第二把鎖最多試2次，開第三把鎖最多試1次，最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數(shù)為：3＋2＋1=6（次）。
二、綜合法
例2 x3=84A（x、A均為自然數(shù)）。A的最小值是______。（1997年南通市數(shù)學(xué)通訊賽試題）
分析與解 根據(jù)題意，84A開立方的結(jié)果應(yīng)為自然數(shù)，于是我們可以把84分解質(zhì)因數(shù)，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的質(zhì)因數(shù)至少含有一個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)7，才能滿足上述要求。
即A的最小值為（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法
例3 一個(gè)三位數(shù)除以43，商是a，余數(shù)是b，（a、b均為自然數(shù)），a＋b的最大值是多少？
（廣州市五年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
分析與解 若要求a＋b的最大值，我們只要保證在符合題意之下，a、b盡可能大。由乘除法關(guān)系得
43a＋b=一個(gè)三位數(shù)
因?yàn)?/font>b是余數(shù)，它必須比除數(shù)小，即b＜43b的最大值可取42。
根據(jù)上面式子，考慮到a不能超過23。（因?yàn)?/font>24×43＞1000，并不是一個(gè)三位數(shù)）
當(dāng)a=23時(shí)，43×23＋10=999，此時(shí)b最大值為10。
當(dāng)a=22時(shí)，43×22＋42=988，此時(shí)b最大值為42。
顯然，當(dāng)a=22，b=42時(shí)，a＋b的值最大，最值為22+42=64。
四、公式法
例4 兩個(gè)自然數(shù)的和為18，那么，這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為多少？（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
分析與解 設(shè)兩個(gè)正數(shù)分別為a、b，它們有以下幾種關(guān)系，a＋b≥值，運(yùn)用此公式，本題迎刃而解。
即這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為81。
五、圖表法
例5 某公共汽車從起點(diǎn)站開往終點(diǎn)站，中途共有9個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應(yīng)有座位多少個(gè)？
（北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
分析與解根據(jù)題意，每站下車的乘客數(shù)最少要等于該站后面的車站數(shù)，列表如下：
從表中可以看出，車上乘客最多時(shí)，是在第五站乘客上下車后的人數(shù)，此時(shí)人數(shù)為
（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）
所以這輛汽車至少應(yīng)有座位30個(gè)。
最大最小問題，涉及面廣，判斷最值的方法較多，上面所列舉的僅是幾種常見的解題方法。
