9、有多少種方法可以把1994表示為兩個自然數之和？

　　分析：1994=1993+1=1+1993

　　=1992+2=2+1992

　　=……

　　=998+996+996+998

　　=997+997

　　解 ：一共有997種方法可以把1994寫成兩個自然數之和。

　　點金術：采用有限窮舉法并考慮到加法交換律。

　　10、試把14分拆為兩個自然數之和，使它們的乘積最大。

　　分析：把14分拆成兩個自然數的和，共有7種不同的方式。對每一種分拆計算相應的乘積：

　　14=1+13，        1×13=13；       14=2+12，        2×12=24；

　　14=3+11，        3×11=33；       14=4+10，        4×10=40；

　　14=5+9，         5×9=45；        14=6+8，         6×8=48；

　　14=7+7，         7×7=49。

　　因此，當把14分拆為兩個7之和時，乘積（7×7=49）最大。

　　點金術：巧用舉例法分析得出結論。

　　11、把14分拆成若干個自然數的和，在求出這些數的積，要使得到的乘積最大，應把14如何分析？這個最大的乘積是多少？

　　分析：先考慮分成哪些數時乘積才盡可能地大。

　　首先分成的數中不能有1，這是顯然的。

　　其次，分成的數中不能有大于4的整數，否則可以將這個數再拆成2與另外一個數的和，這兩個數乘積一定比原數大，例如7就比它分成的2和5的乘積小。

　　再次，因為4=2×2，故我們可以只考慮將數分拆成2和3

　　注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的數中如果有三個2，不如換成兩個3，既分成的數中至多只能有兩個2，其余都是3。

　　解：根據上面的分析，因把14分成四個3與一個2之和，

　　即：

　　14=3+3+3+3+2

　　這五個數的積最大，且最大值為3×3×3×2=162。

　　點金術：巧用排除和舉例法架起已知與未知之間的聯系。

　　12、有一些自然數，它可以表示為9個連續自然數之和，又可以表示為10個連續自然數之和，還可以表示為11個連續自然數之和，求滿足上述條件的最小自然數。

　　分析：設滿足要求的最小自然數為11，由9個連續自然數的和是中間的數（第5個數）的9倍知，n是9的倍數；

　　同理，n是11的倍數；

　　又10個連續自然數a1,a2,…,a10的和為：

　�。╝1+a10）×10÷2=5(a1+a10)

　　是5的倍數，所以n是5的倍數；

　　而9，11，5兩兩互質，所以n是5×9×11=495的倍數，由n的最小性取n=495，事實上，有：

　　495=51+52+53+…+59（9個連續自然數之和）

　　=45+46+47+…+54（10個連續自然數之和）

　　=40+41+42+…+50（11個連續自然數之和）

　　從而知，滿足條件的最小自然數是495。

　　點金術：巧用同理的方法把已知和未知之間聯系起來。

　　13、把70表示成11個不同的自然數之和，同時要求含有質數的個數最多。

　　分析：先考慮把70表示成11個不同的自然數之和。

　　因1+2+3+……+11=66，現在要將4分配到適當的加數上，使其和等于70，又要使這11個加數互不相等。

　　先將4分別加在后四個加數上，得到四種分拆方法：

　　70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11

　　再將4拆成1+3，把1和3放在適當的位置上，僅有一種新方法：

　　70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12

　　再將4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分別加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故這樣的分拆方法一共有五種。

　　顯然，這五種分拆方法中含有質數的個數最多的是：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

　　點金術：巧用舉例和篩選法得出結論。

　　用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？

　　分析：用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢與用2分和5分硬幣湊成不超過一元錢的湊法是一樣的。于是，本題轉化為：“有2分硬幣50個，5分硬幣20個，湊成不超過一元錢的不同湊法有多少種？”

　　解：按5分硬幣的個數分21類計數；

　　假若5分硬幣有20個，顯然只有一種湊法；

　　假若5分硬幣有19個，則2分硬幣的幣值不超過100-5×19=5（分），于是2分硬幣可取0個、1個或2個，既有3種不同的湊法；

　　假若5分硬幣有18個，則2分硬幣的幣值不超過100-5×18=10（分），于是2分硬幣可取0個、1個2個3個4個或5個，既有6種不同的湊法；

　　…如此繼續下去，可以得到不同的湊法共有：

　　1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51

　　=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51

　　=90+400+51

　　=541（種）

　　點金術：巧用轉化法假設法架起已知與未知之間的橋梁。

　　15、將1992表示成若干個自然數的和,如果要使這些數的乘積最大,這些自然數是______.

　　(1992年武漢市小學數學競賽試題)

　　講析:若把一個整數拆分成幾個自然數時,有大于4的數,則把大于4的這個數再分成一個2與另一個大于2的自然數之和,則這個2與大于2的這個數的乘積肯定比它大.又如果拆分的數中含有1,則與"乘積最大"不符.

　　所以,要使加數之積最大,加數只能是2和3.

　　但是,若加數中含有3個2,則不如將它分成2個3.因為2×2×2=8,而3×3=9.

　　所以,拆分出的自然數中,至多含有兩個2,而其余都是3.

　　而1992÷3=664.故,這些自然數是664個3.