1、一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。

　　解：設此自然數(shù)為x，依題意可得

　　x-45=m^2................(1)

　　x+44=n^2................(2)(m,n為自然數(shù))

　　(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

　　但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。

　　2、求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方。

　　分析：設四個連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數(shù)。欲證

　　n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。

　　證明：設這四個整數(shù)之積加上1為m，則

　　m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

　　而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。

　　3、證明，（5n+1）不是平方數(shù)（n為自然數(shù)）。

　　證明：現(xiàn)在，假設n為奇數(shù)：不管n為哪個奇數(shù)，5n的末位數(shù)一定是5。這樣，式子變成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根據(jù)這一條完全平方數(shù)的性質(zhì)，就能判別正誤了。

　　請看這邊：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只能是0、1、4、5、6、9這6個數(shù)中的某一個。顯然不對。看看偶數(shù)會怎么樣。

　　如果n為偶數(shù)，這樣5n末位一定為0。式子現(xiàn)在又變成了：3×（0+1），等于3。還是看上面完全平方數(shù)的定律，答案也是錯。現(xiàn)在已經(jīng)證明出來了。

　　這一道題告訴我，當我遇到像這種證明題，看看用分類證明的方法是不是最好。其實，這題目也不是很難，關鍵在于我們是否能從數(shù)的末位去巧做完全平方數(shù)的題！