1.  7

　　因為除以3余數是1的數是

　　1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

　　除以4余數是3的數是3,7,11,15,19,23,27,31…

　　所以，同時符合除以3余數是1，除以4余數是3的數有7，19，31，…這些數除以12余數均為7.

　　2.  14

　　用一個兩位數除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被這個兩位數整除,這個兩位數一定是56、70和84的公約數.

　　2      56   70   84

　　7  28   35   42

　　4    5    6

　　由可可見,56、70、84的兩位數公約數是2 7=14，可見這個兩位數是14.

　　3.  41

　　根據題意得

　　319-261=練習本單價 第二、一組人數之差，

　　348-319=練習本單價 第四、二組人數之差.即

　　練習本單價 第二、一組人數之差=58,

　　練習本單價 第四、二組人數之差=29，

　　所以,練習本單價是58與29的公約數,這樣,練習本的單價是29分,即0.29元.

　　因此,全班人數是

　　(2.61 2+3.19+3.48) 0.29

　　=11.89 0.29

　　=41(人)

　　[注]這里為了利用練習本單價是總價的公約數這一隱含條件,將小數化成整數來考慮,為解決問題提供了方便.這里也可直接找261、319和348的公約數，但比較困難.上述解法從一定意義上說是受了輾轉相除法的啟示.

　　4.  91

　　如果將兩個班的人數減少1人,則9人一排或10人一排都正好排完沒有剩余,所以兩班人數減1是9和10的公倍數,又要求這兩班至少有幾人,可以求出9和10的最小公倍數,然后再加上1.所以,這兩個班最少有

　　9 10+1=91(人)

　　5.  210

　　一個數能被3,5,7整除,這個數一定是3,5,7的公倍數.3,5,7的公倍數依次為:105,210,315,420,……，其中被11除余數為1的最小數是210，所以這個最小數是210.

　　6.  46人.

　　如果總人數少6人,則每排8人和每排10人,均恰好排完無剩余.由此可見,人數比10和8的最小公倍數多6人,10和8的最小公倍數是40,所以參加隊列訓練的學生至少有46人.

　　7.  71

　　依題意知,這堆蘋果總個數,添進1個蘋果后,正好是9,8,4的倍數.因為9,8,4的最小公倍數是9 8=72,所以這堆蘋果至少有9 8-1=71(個).

　　[注]本題為什么求9,8,4的最小公倍數呢?這是根據限制條件"這堆蘋果共幾十個"決定的.若限制條件改為"這堆蘋果的個數在100-200之間"的話，那么這堆蘋果共有9 8 2-1=141（個）.因此，在解答問題時，一定要把條件看清楚，尤其要注意"隱含條件"的應用.

　　8.  148

　　從6和7的公倍數42,84,126,……中找到除以5余3的數是378（可以先找到除以5余1的數126，再乘以3即可）.

　　從5和7的公倍數35,70,……中找到除以6余4的數是70.

　　從5和6的公倍數30,60,90，120，……中找到除以7余1的數是120.

　　5,6,7的最小公倍數是5 6 7=210.

　　所以,這筐蘋果至少有

　　568-210 2=148個.

　　9.  172

　　因為除以3余1,除以5余2的最小數是22,而3和5的最小公倍數是15,所以符合條件的數可以是22,37,52,67,…….又因為67 7=9…4，所以67是符合題中三個條件的最小數，而3，5和7的最小公倍數是105，這樣符合條件的數有67，172，277，….

　　所以,符合條件的最小三位數是172.

　　10.  301

　　先求出2,3,4,5的最小公倍數是60,然后用試驗法求出60的倍數加1能被7整除的數

　　60+1=61

　　60 2+1=121

　　60 3+1=181

　　60 4+1=241

　　60 5+1=301

　　其中301能被7整除.所以筐內原來有301個雞蛋.

　　11.  如果這盒乒乓球少3個的話,8個8個地數,10個10個地數,12個12個的數都正好無剩余,也就是這盒乒乓球減少3個后是8,10,12的公倍數,又要求至少有多少個乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍數,然后再加上3.

　　2      8   10   12

　　2   4    5    6

　　2    5    3

　　故8,10,12的最小公倍數是2 2 2 5 3=120.所以這盒乒乓球有123個.

　　12.  設所求數為 ,則 +2就能同時被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以 =120-2=118

　　13.  設有 個圍棋子,則 +1是3,5,7的倍數,  +1是[3,5,7]=3 5 7=105的倍數,  +1=210,  =209.

　　14.  無解,若該數存在必為8+18 ( 為整數),它被6除只能余2,矛盾.