學而思奧數天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎訓練、考題學習經歷，并且奧數成績中上的學生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應用和加深各知識點，適合一些志在競賽 中奪取佳績的學生。

　　·本周試題由學而思奧數名師徐研精選、解析，以保證試題質量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時間不應超過15分鐘。

　　難度：★★★★

　　小學五年級奧數天天練：計算

　　已知[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000，滿足上述要求的數組｛a，b，c｝共有多少組？


　　解答：已知當a能被b整除時，有[a，b]=a.現在我們先固定a、b、c三個數中的某兩個，看第三個數有多少種可能性.先讓a=1000，c=2000，只要b是1000的約數，便有[a，b]=1000，[b，c]=2000，[a，c]=2000.因為1000=2³×5³，b又是a的約數，a的約數有[（3+1）×（3+1）=]16個，即b有16種可能，所以這樣的數組有16組.再讓b=1000，c=2000，這時只要a是1000的約數，題目中的條件都滿足，去掉與上面16種中相同的一種a=b=1000，c=2000，又有15（=16-1）組.

　　再看a、b、c三個數中固定一個數的情況.

　　讓c=2000，為保證滿足題目中的要求：[a，c]=2000，[b，c]=2000，a、b均應為2000的約數.為了使[a，b]=1000，而1000=2³×5³，所以a=2³×5ⁿ，b=5³×2^m.為去掉a=b=1000這一種情況，n可以取0、1、2三個值，m也可以取0、1、2三個值，即a可以是8、40、200這三個數，b可以是125、250、500這三個數.所以這樣的數組有（3×3=）9組，交換a、b有9組.當c=2000時，這樣的數組共有18組.

　　再讓a=1000，為保證題目中的條件得到滿足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不與上面已有的數組重復.又因為1000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故應有b=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.這里n可以取0、1、2、3四個數，m可以取0、1、2三種數，即b可以是125、250、500、1000這四個數，c可以是16、80、400這三個數，此時這樣的數組共有（4×3=）12組.

　　再讓b=1000，為保證題目中的條件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到滿足，且不與上面已有的數組重復，根據1000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故應有a=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.這里n只能取0、1、2三個數，m可以取0、1、2三個數，即a可以是125、250、500這三個數，c可以是16、80、400這三個數，此時這樣的數組共有（3×3=）9組.

　　把上述各種情況下的組數相加，便是所求的答案.

　　滿足要求的a、b、c數組共有：

　　16+15+18+12+9=70

　　注意：這里125，1000，16和1000，125，16算兩組.



 


　　難度：★★★★★

　　小學五年級奧數天天練：排號

　　1991名同學從左到右按編號1到1991排成一列，然后從左到右1至3報數，凡報2的同學留下，其余的同學都離開.留下的同學按原順序向左看齊后再 1至3報數，凡報2的同學留下，其余的同學都離開，留下的同學按原順序向左看齊后再1至3報數，依次重復上面的做法，直到留下的學生人數比3少為止.問最 后留下的一個或兩個同學中，站在第一號位上的同學在一開始站在什么號位上？


　　解答：我們先從100人著手，看看有什么規律，能不能用這個規律解決這個問題，

　　因為100÷3=33余1，所以第一次報數后只留下33人，他們按原來編號排列如下：

　　2，5，8，11，14，17，20，23，…，92，95，98，而他們的新編號依次為1，2，3，…，31，32，33.

　　又因為5-2=3，8-5=3，…，95-92=3，98-95=3，所以第一次報數后站在新編號1，2，3，…，31，32，33等號位上的人，他們在開始隊伍中的號位數，正好等于新號位數減1后與3相乘，再加2，也就是：

　　原號位數=（新號位數-1）×3+2

　　又因為33÷3=11，所以第二次報數后只留下11人，他們按原來的編號排列如下：

　　5，14，23，32，41，50，59，68，77，86，95

　　他們的新編號依次為：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

　　又因為14-5=9，23-14=9，32-23=9，…，86-77=9，95-86=9，5=3+2，所以第二次報數后，站在新編號1，2，3，…，11等號位上的人，他們在一開始隊伍中的號位數，正好等于新號位數減1與9相乘，再加3，加2，即

　　原號位數=（新號位數-1）×3²+3+2

　　因為11÷3=3余2，所以第三次報數后只留下4人，他們按原來的編號排列如下：14，41，68，95.他們的新編號依次為1，2，3，4.

　　又因為41-14=27，68-41=27，95-68=27，14=9+3+2，所以第三次報數后，站在新編號1，2，3，4號位上的人，他們在一開始隊伍中的號位數，正好等于新號位數減 1與 27相乘，再加 9、加3、加2，也就是：

　　原號位數=（新號位數-1）×3³+3²+3+2

　　又因為4÷3=1余1，所以第四次報數后只留下1人，他就是41號，而41=27+3²+3+2.

　　如果我們用a、b分別代表原號位與新號位數，那么經過第一、二、三、四次報數后，a、b之間存在下面的關系式：

　　a=（b-1）×3+2

　　a=（b-1）×3²+3+2

　　a=（b-1）×3³+3²+3+2

　　a=（b-1）×3⁴+3³+3²+3+2

　　分析對比這四個式子和報數的關系后，可得到一個更一般的關系式，即第k次報數后，a與b之間的關系可用下式表示：

　　a=（b-1）×3^k+33^k-1+…+3²+3+2

　　因為1991÷3=663……2，

　　664÷3=221……1，221÷3=73……2，

　　74÷3=24……2，25÷3=8……1，

　　8÷3=2……2，3÷3=1，

　　即1991名同學要報7次名后，最后才剩1人，也就是上面一般等式中的k=7，就有

　　a=（1-1）×37+36+35+3⁴+3³+3²+3+2

　　=2+3+9+27+81+243+729

　　=1094

　　這就說明了最后站在第一號位上的同學一開始站在1094號位上.