淺談集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
【摘要】集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)有了很多的滲透。而且這種數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中是很有價值的，它的很多思想和展現(xiàn)的方式對于幫助小學(xué)生理解題意和解答問題都有很大作用。本文主要討論如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)赜幸庾R地指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合思想去思考問題和解決難題，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到切實(shí)和有效的發(fā)展，以利于學(xué)生可持續(xù)性發(fā)展。
【關(guān)鍵詞】集合思想，小學(xué)數(shù)學(xué)，教學(xué)，應(yīng)用，感性認(rèn)識
集合是近代數(shù)學(xué)中的一個重要概念。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向小學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要標(biāo)志，在解決某些數(shù)學(xué)問題時，若是運(yùn)用集合思想，可以使問題解決得更簡單明了。集合論的創(chuàng)始人是德國的數(shù)學(xué)家康托（1845——1918），其主要思想方法可歸結(jié)為三個原則，即概括原則、外延原則、一一對應(yīng)原則。自集合論創(chuàng)立以來，它的概念、思想和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支中，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個非空集之間的關(guān)系的圖，現(xiàn)稱歐拉圖。英國數(shù)學(xué)家維恩最早使用了另一種圖即可以用于表示任意的幾個集合（不論它們之間的關(guān)系如何，都可以畫成同一樣式），又稱“維恩圖”，用維恩圖表示集合，有助于探索某些數(shù)學(xué)題的解決思路。
布魯納曾說，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。數(shù)學(xué)思想方法不但對學(xué)生學(xué)習(xí)具有普遍的指導(dǎo)意義，而且有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣。
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對應(yīng)思想等，作為數(shù)學(xué)思想方法的一種，在教學(xué)中是具有很大的指導(dǎo)意義的。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)該如何應(yīng)用集合思想進(jìn)行教學(xué)活動呢?
一、集合概念在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
集合思想的概念在教學(xué)中是不必向?qū)W生作解釋的，教師主要指導(dǎo)學(xué)生看懂集合圖的意思，會根據(jù)集合圖來解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應(yīng)用了集合的表示方法——圖示法，因此在小學(xué)低年級中運(yùn)用這個方法對于教學(xué)是很有幫助的。
在認(rèn)數(shù)教學(xué)中，教師要結(jié)合各種集合圖，可以是選用書本上的，也可以是選用一些生活中常見的事物自己畫。同時還可以反過來給學(xué)生一個數(shù)字，讓學(xué)生畫集合圖，這樣既可以讓學(xué)生開動腦筋發(fā)揮自己的想象，也可以讓學(xué)生更了解集合中的元素與基數(shù)概念的聯(lián)系。
在日常教學(xué)中，教師還要讓學(xué)生理解一些用來描述集合的常用術(shù)語，如“一些”、“一堆”、“一組”、“一群”等。比如說，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材北師大版一年級（上冊）的第四單元分類中，就出現(xiàn)了這么一張圖，讓學(xué)生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服裝鞋帽放一堆,這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。
在認(rèn)識0-10的十一個數(shù)字中，每個數(shù)字都有一張相應(yīng)的集合圖，也就是告訴學(xué)生，一個集合中有幾個元素就用“幾”來表示。如北師大版一年級（上冊）第4頁找一找的活動中“1”可以表示圖里的一座房子；“2”可以表示圖里的兩個人。這就很形象的把集合中的元素與基數(shù)的概念有機(jī)的聯(lián)系起來。
二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
1、子集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
教學(xué)數(shù)的大小這一問題時，就可以應(yīng)用子集思想。如北師大版二年級(下冊)第36頁試一試中,給出一些數(shù)，組成一個數(shù)的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數(shù)分類，再比較大小。這把數(shù)分類就相當(dāng)于是把整個數(shù)的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。（如下圖）
對于這類問題，應(yīng)用集合思想就能讓學(xué)生非常直觀、容易地理解。
2、 交集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
如有這么一道應(yīng)用題：一個班有48人。班主任在班會上問：“誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？”這時有42人舉手。又問：“誰做完了語文作業(yè)？”這時有37人舉手。最后又問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。請問：這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？
一看這道題就會想到要用維恩圖來算比較簡單。畫一個長方形表示全集，完成語文作業(yè)的學(xué)生集合（A），完成數(shù)學(xué)作業(yè)的學(xué)生集合（B），A、B有相交部分
因?yàn)锳內(nèi)的兩部分表示人數(shù)和就是完成語文作業(yè)的人數(shù)（37人），所以A外、B內(nèi)的那部分表示的人數(shù)為48-37=11（人），者是 完成了數(shù)學(xué)作業(yè)但沒有完成語文作業(yè)的人數(shù)。因此，語文、數(shù)學(xué)兩種作業(yè)都完成了的人數(shù)是42-11=31人。
教學(xué)公約數(shù)、公倍數(shù)這一內(nèi)容時，也通常應(yīng)用交集思想，如
12的約數(shù) 18的約數(shù)
3、并集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
在小學(xué)一年級的教材中，并集被用于說明加法的意義，如北師大版一年級（上冊）第22頁解決“有幾只鉛筆”這個問題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆，右手里拿了三只鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。2＋3＝5（只）
還有北師大版一年級(上冊)第68頁11～20各數(shù)的認(rèn)識中，對于“11”,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的“1”，然后再數(shù)1根組成“11”了。同理在教學(xué)12、13、14、15等數(shù)時，也都應(yīng)該采用并集思想。
又如，北師大版一年級(上冊)第72頁:9＋5＝? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結(jié)合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的“1”，這也運(yùn)用了并集思想。
4、差集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
在小學(xué)一年級的教材中，差集被用于說明減法的意義。如北師大版一年級（上冊）第26頁“摘果子”樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：5－2＝3（個）
又比如說還是本頁的“做一做”：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下5－4＝1（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
空集表示這個集合沒有元素。空集思想的應(yīng)用主要出現(xiàn)在教學(xué)“0”的時候，如北師大版一年集（上冊）第8頁“小貓釣魚”，每只小貓的袋子表示集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。
三、一一對應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
一一對應(yīng)思想在教材中體現(xiàn)的較多，在比較兩個集合所包含的元素的多少時就一定得用建立一一對應(yīng)關(guān)系的方法來解決，同時，“一一對應(yīng)”思想也是現(xiàn)代函數(shù)思想的基礎(chǔ)。一一對應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要以兩種形式呈現(xiàn)：第一種是比多少，第二種是由一個集合經(jīng)過對應(yīng)法則得到另一個集合。
在教學(xué)比多少時，教師首先要把集合中的元素一一的排列起來。如北師大版一年級（上冊）第43頁：
比 多
比 少
在教學(xué)第二種情況，一個集合經(jīng)過對應(yīng)法則得到另一個集合時，教師要向?qū)W生解釋清楚對應(yīng)法則是對已給出的集合中的每一個元素都起作用的。
如人教版三年級（下冊）第23頁
這類算式與算式的配對，也正是一一對應(yīng)思想的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)教師的首要責(zé)任是盡其一切可能，來發(fā)展學(xué)生解決問題的能力。”教師在問題探索的教學(xué)中不能就題論題，授之以“漁”遠(yuǎn)比授之以“魚”來的重要。這個“漁”就是指隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生只有逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動，才會在遇到其它問題時胸有成竹，從容對待。新課標(biāo)也指出：結(jié)合有關(guān)知識的教學(xué)，適當(dāng)?shù)臐B透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，以加深對基礎(chǔ)知識的理解。作為數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)大膽地應(yīng)用集合思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得對集合思想的感性認(rèn)識，并逐步形成運(yùn)用集合思想的觀念。
參考文獻(xiàn)
[1]《集合思想》[J] 金成梁《江蘇教育》1995年,第01期:（37-38）。
[2]《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中集合思想的滲透》[J] 楊宏權(quán)《甘肅教育》2000年,第22期:（66）。
[3]《談概念教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透》[J] 顧紅《云南教育》2004年，第32期:（18）。
[4]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[M]北京師范大學(xué)出版社,2001。
[5]《小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合思想》王建 ，程秋云《四川教育學(xué)院學(xué)報》 2006年06期。
