難度:★★★★
小學五年級奧數天天練:排隊
畫展9點開門,但早有人來排隊入場,從第一個觀眾來到時起,若每分鐘來的觀眾一樣多,如果開3個入場口,9點9分就不再有人排隊;如果開5個入場口,9點5分就沒有人排隊.求第一個觀眾到達的時間.
解答:如果把入場口看作為"牛",開門前原有的觀眾為"原有草量",每分鐘來的觀眾為"草的增長速度",那么本題就是一個"牛吃草"問題.
設每一個入場口每分鐘通過"1"份人,那么4分鐘來的人為3×9-5×5=2 ,即1分鐘來的人為2÷4=0.5 ,原有的人為:(3-0.5)×9=22.5 .這些人來到畫展,所用時間為22.5÷0.5=45 (分).所以第一個觀眾到達的時間為8點15分.
點評:從表面上看這個問題與"牛吃草"問題相離很遠,但仔細體會,題目中每分鐘來的觀眾一樣多,類似于"草的生長速度",入場口的數量類似于"牛"的數量,問題就變成"牛吃草"問題了.解決一個問題的方法往往能解決一類問題,關鍵在于是否掌握了問題的實質.
難度:★★★★★
小學五年級奧數天天練:時鐘
時鐘的表盤上按標準的方式標著1,2,3,…,11,12這12個數,在其上任意做n個120°的扇形,每一個都恰好覆蓋4個數,每兩個覆蓋的數不全相同.如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個覆蓋整個鐘面的全部12個數,求n的最小值.
解答:(1)當 時,有可能不能覆蓋12個數,比如每塊扇形錯開1個數擺放,蓋住的數分別是:(12,1,2,3);(1,2,3,4);(2,3,4,5);(3,4,5,6);(4,5,6,7);(5,6,7,8);(6,7,8,9);(7,8,9,10),都沒蓋住11,其中的3個扇形當然也不可能蓋住全部12個數.
(2)每個扇形覆蓋4個數的情況可能是:
(1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12)覆蓋全部12個數
(2,3,4,5)(6,7,8,9)(10,11,12,1)覆蓋全部12個數
(3,4,5,6)(7,8,9,10)(11,12,1,2)覆蓋全部12個數
(4,5,6,7)(8,9,10,11)(12,1,2,3)覆蓋全部12個數
當n=9 時,至少有3個扇形在上面4個組中的一組里,恰好覆蓋整個鐘面的全部12個數.
所以n的最小值是9.