在與數(shù)學(xué)有關(guān)的游戲中，有一個(gè)歷史非常悠久的問題，那就是研究國際象棋棋盤上馬走過每個(gè)方格一次的路徑。許多知名的數(shù)學(xué)家，如德莫弗（De Moivre）、歐拉（Euler）與范德蒙德（Vandermonde）等人，在過去的200年中都研究過這個(gè)問題，不過總還是會有新的發(fā)現(xiàn)。

　　圖1是德莫弗對8×8棋盤所作的一種解答，方格中的號碼代表馬的走法。圖2是相同路徑的另一種表示方法。兩者各有其優(yōu)點(diǎn)，你可以自行決定采用哪一種表示法。不論你使用哪一種方法，都會需要很多的方格紙。第二種使用直線連接的表示方法尚未完成，但已經(jīng)顯示出德莫弗解答的策略是，在棋盤上沿一個(gè)方向移動，而且盡可能地向外側(cè)靠近。在方格紙上重新繪制圖2，在自己嘗試解題之前，先完成德莫弗的解。

　　對于這類問題，最好是從較小的棋盤開始，以便先熟悉馬在各方格移動的方法。

　　顯然在3×3的棋盤上，馬無法走完全程（圖3）。從外圈的方格出發(fā)，馬可以輕易地走過所有的外圈方格，但無法走到中央的方格；若是從中央的方格出發(fā)，馬則無路可走。

　　那么在4×4的棋盤上，馬是否可能走完全程？

　　圖4是個(gè)錯(cuò)誤的走法，馬走了4步之后就動彈不得。若你無法走遍所有16個(gè)方格，那么在不重復(fù)經(jīng)過任一方格的情況下，最多能走過多少方格？

　　請研究馬在5×5、6×6、7×7的棋盤上的路徑。

　　圖5是馬在8×4的長方形棋盤上的路徑。馬是否有可能在更小的長方形棋盤上走完全程？

　　研究馬在其他形狀的棋盤上的路徑也很有趣。如圖6的形狀，曾被作者誤以為是不可能走完全程的形狀，但其實(shí)是可以走完全程的。

　　言歸正傳，再回到傳統(tǒng)正方形的棋盤。研究此問題的許多數(shù)學(xué)家都試圖找出具有特殊性質(zhì)的解，例如找出馬最后回到起點(diǎn)的路徑。

　　圖7所示的走法由歐拉所完成。這種路徑稱為“重返路徑”。圖7的解還具有一種更奇妙的性質(zhì)，那就是馬先走完一半的棋盤，再走另一半。

　　請?jiān)囍��?×6的棋盤上找出重返路徑。

　　用一種很簡單的方法可以證明，任何奇數(shù)方格的棋盤都不可能有重返路徑。看看你能否找到這個(gè)證明方法。

　　在其他形狀的棋盤上也可能找到重返路徑。可試一試圖9.另一種也是由歐拉所找出的解法，使許多其他人提出的解法相形見繼。那就是馬的路徑可以形成8×8的幻方，即任何行或列（但不包含對角線）的數(shù)字和都等于260，如圖8所示。試著去驗(yàn)算一下其“魔術(shù)般”的性質(zhì)，并研究其路徑的對稱性。根據(jù)馬的走法，也可以設(shè)計(jì)出一種有趣的游戲。從5×5的棋盤上的任一方格開始，兩人輪流移動一個(gè)馬。移動時(shí)不能重復(fù)已經(jīng)走過的方格，走最后一步的人贏。