我國古代數(shù)學(xué)以計(jì)算為主，取得了十分輝煌的成就。其中十進(jìn)位值制記數(shù)法、籌算和珠算在數(shù)學(xué)發(fā)展中所起的作用和顯示出來的優(yōu)越性，在世界數(shù)學(xué)史上也是值得稱道的。

　　十進(jìn)位值制記數(shù)法曾經(jīng)被馬克思（1818—1883）稱為“最妙的發(fā)明之一”①。

　　從有文字記載開始，我國的記數(shù)法就遵循十進(jìn)制。殷代的甲骨文和西周的鐘鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等字的合文來記十萬以內(nèi)的自然數(shù)的。例如二千六百五十六寫作（甲骨文），六百五十九寫作（鐘鼎文）。這種記數(shù)法含有明顯的位值制意義，實(shí)際上，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字樣取消，便和位值制記數(shù)法基本一樣了。

　　春秋戰(zhàn)國時期是我國從奴隸制轉(zhuǎn)變到封建制的時期，生產(chǎn)的迅速發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步提出了大量比較復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算問題。為了適應(yīng)這種需要，勞動人民創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法——籌算。我們認(rèn)為籌算是完成千春秋戰(zhàn)國時期，理由是：第一，春秋戰(zhàn)國時期，農(nóng)業(yè)、商業(yè)和天文歷法方面有了飛躍的發(fā)展，在這些領(lǐng)域中，出現(xiàn)了大量比以前復(fù)雜得多的計(jì)算問題。由于井田制的廢除，各種形狀的私田相繼出現(xiàn)，并相應(yīng)實(shí)行按畝收稅的制度，這就需要計(jì)算復(fù)雜形狀的土地面積和產(chǎn)量：商業(yè)貿(mào)易的增加和貨幣的廣泛使用，提出了大量比例換算的問題，適應(yīng)當(dāng)時農(nóng)業(yè)需要的厲法，要計(jì)算多位數(shù)的乘法和除法。為了解決這些復(fù)雜的計(jì)算問題，才創(chuàng)造出計(jì)算工具算籌和計(jì)算方法籌算。第二，現(xiàn)有的文獻(xiàn)和文物也證明籌算出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國時期。例如“算”和“籌”二字出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國時期的著作（如《儀禮》、《孫子》、《老子》、《法經(jīng)》、《管子》、《荀子》等）中，甲骨文和鐘鼎文中到現(xiàn)在仍沒有見到這兩個字。一二三以外的籌算數(shù)字最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時期的貨幣（刀、布）上。《老子》提到：“善計(jì)者不用籌策”，可見這時籌算已經(jīng)比較普遍了。因此我們說籌算是完成干春秋戰(zhàn)國時期。這并不否認(rèn)在春秋戰(zhàn)國時期以前就有簡單的算籌記數(shù)和簡單的四則運(yùn)算。

　　關(guān)于算籌形狀和大小，最早見于《漢書·律歷志》。根據(jù)記載，算籌是直徑一分（合○·二三厘米）、長六寸（合一三·八六厘米）的圓形竹棍，以二百七十一根為一“握”。南北朝時期公元六世紀(jì)《數(shù)術(shù)記遺》和《隋書· 律歷志》記載的算籌，長度縮短，并且把圓的改成方的或扁的。這種改變是容易理解的：長度縮短是為了縮小布算所占的面積，以適應(yīng)更加復(fù)雜的計(jì)算；圓的改戌方的或扁的是為了避免圓形算籌容易滾動而造成錯誤。根據(jù)文獻(xiàn)的記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、玉籌和牙籌，還有盛裝算籌的算袋和算子筒。唐代曾經(jīng)規(guī)定，文武官員必須攜帶算袋。1971年八月中旬，在陜西寶雞市千陽縣第一次發(fā)現(xiàn)西漢宣帝時期（公元前73年到前49年）的骨制算籌三十多根，大小長短和《漢書·律歷志》的記載基本相同。1975年上半年在湖北江陵鳳凰山一六八號漢墓又發(fā)現(xiàn)西漢文帝時期（公元前179年到前157年）的竹制算籌一束，長度比千陽縣發(fā)現(xiàn)的算籌稍大一點(diǎn)。1980年九月，在石家莊市又發(fā)現(xiàn)東

　　漢初期（公元一世紀(jì)）的骨制算籌約三十根，長度和形狀同《隋書·律歷志》的記載相近，這說明算籌長度和形狀的改變早在東漢初期：已經(jīng)開始。算籌的出土，為研究我國數(shù)學(xué)發(fā)展史提供了可貴的實(shí)物資料。

　　籌算是以算籌作工具，擺成縱式的（）和橫式的（）兩種數(shù)字，按照縱橫相間（“一縱十橫，百立千僵”）的原則表示任何自然數(shù)（如六千七百零八表示為，遇到零的時候用空位表示），從而進(jìn)行加、減、乘、除、開方以及其他的代數(shù)計(jì)算。

　　籌算一出現(xiàn)，就嚴(yán)格遵循十進(jìn)位值制記數(shù)法。九以上的數(shù)就進(jìn)一位，同一個數(shù)字放在百位就是幾百，放在萬位就是幾萬。

　　算籌記數(shù)示意圖。圖上表示的數(shù)是一千九百七十一。

　　這種記數(shù)法，除所用的數(shù)字和現(xiàn)今通用的印度一阿拉伯?dāng)?shù)字形式不同外，和現(xiàn)在的記數(shù)法實(shí)質(zhì)是一樣偽。籌算是把算籌一面擺成數(shù)字，一面進(jìn)行計(jì)算，它的運(yùn)算程序和現(xiàn)今珠算的運(yùn)算程序基本相似。記述籌算記數(shù)法和運(yùn)算法則的著作有《孫子算經(jīng)》（公元四世紀(jì)）、《夏侯陽算經(jīng)》（公元五世紀(jì)）和《數(shù)術(shù)記遺》（公元六世紀(jì)）。負(fù)數(shù)出現(xiàn)后，算籌分成紅黑兩種，紅籌表示正數(shù)，黑籌表示負(fù)數(shù)。算籌還可以表示各種代數(shù)式，進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算，方法和現(xiàn)今的分離系數(shù)法相似。我國古代在數(shù)字計(jì)算和代數(shù)學(xué)方面取得的輝煌成就，和籌算有密切的關(guān)系。例如祖沖之的圓周率準(zhǔn)確到小數(shù)第六位，需要計(jì)算正一萬二千二百八十八邊形的邊長，把一個九位數(shù)進(jìn)行二十二次開平方（加、減、乘、除步驟除外），如果沒有十進(jìn)位值制的計(jì)算方法，那就會困難得多了。

　　古巴比侖的記數(shù)法雖然有位值制的意義，但是它是六十進(jìn)的，計(jì)算比較繁瑣。古埃及的數(shù)字從一到十只有兩個數(shù)字符號，從一百到一千萬有四個數(shù)字符號，而且是象形的，例如用一個鳥表示十萬。文化比較發(fā)達(dá)的古希臘，由于看重幾何，輕視計(jì)算，記數(shù)方法十分落后，用全部希臘字母表示一到一萬的數(shù)字，字母不夠的時候就在字母旁邊增加符號“‘”，如。α表示一千，β表示二千等。現(xiàn)在世界通用的印度一阿拉伯?dāng)?shù)字和記數(shù)法是印度古代人民創(chuàng)造的，但是印度在公元三世紀(jì)以前使用的記數(shù)法是希臘式和羅馬式兩種，都不是位值制，真正使用十進(jìn)位值制記數(shù)法出現(xiàn)在公元六世紀(jì)末。由此可見，我國古代的十進(jìn)位值制記數(shù)法和籌算，在世界數(shù)學(xué)史上應(yīng)該占有重要的地位。

　　籌算在我國古代用了大約兩千年，在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)以至人民生活中，發(fā)揮了重大的作用。但是它的缺點(diǎn)也是十分明顯的：首先，在室外拿著一大把算籌進(jìn)行計(jì)算就很不方便；其次，計(jì)算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要的面積越大，受環(huán)境和條件的限制；此外，當(dāng)計(jì)算速度加快的時候，很容易由于算籌擺弄不正而造成錯誤。隨著社會的發(fā)展，計(jì)算技術(shù)要求越來越高，籌算需要改革，這是勢在必行的。這個改革從中唐以后的商業(yè)實(shí)用算術(shù)開始，經(jīng)宋元出現(xiàn)大量的計(jì)算歌訣，到元末明初珠算的普遍應(yīng)用，歷時七百多年。《新唐書》和《宋史·藝文志》記載了這個時期出現(xiàn)的大量著作。由于封建統(tǒng)治階級對民間數(shù)學(xué)十分輕視，以致這些著作的絕大部分已經(jīng)失傳。從遺留下來的著作中可以看出，籌算的改革是從籌算的簡化開始而不是從工具改革開始的，這個改革最后導(dǎo)致珠算的出現(xiàn)。

　　珠算是由籌算演變而來的，這是十分清楚的。籌算數(shù)字中，上面一根籌當(dāng)五，下面一根籌當(dāng)一，珠算盤中的上一珠也是當(dāng)五，下一珠也是當(dāng)一；由于籌算在乘、除法中出現(xiàn)某位數(shù)字等于十或多于十的情形（例如26532÷8，第一步就是“八二下加四”，就變成），所以珠算盤采用上二珠下五珠的形式。其次，我們可以證明，從楊輝、朱世杰開始到元末丁巨、何平子、賈亨止起除“起一”法外的全部現(xiàn)今通用的珠算歌訣，是為籌算而設(shè)的。楊輝的《乘除通變本末》（公元1274年）和朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（公元1299年）已經(jīng)有相當(dāng)完備的歌訣，但是楊輝在《乘除通變本末》中說：“下算不出 ‘橫’‘直’”，其中“橫”“直”顯然是指算籌的縱橫排列，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提到“知算縱橫數(shù)目真”，也是這個意思。《丁巨算法》（公元1355 年）、何平子的《詳明算法》（公元1373年）、賈亨的《算法全能》（約公元1373年）也有相當(dāng)完備的歸除歌訣，但是都沒有提到珠算，而《詳明算法》還有許多籌算算草。歌訣出現(xiàn)后，籌算原來存在的缺點(diǎn)就更突出了，歌訣的快捷和擺弄算籌的遲緩存在矛盾。為了得心應(yīng)手，勞動人民便創(chuàng)造出更加先進(jìn)的計(jì)算工具 ——珠算盤。

　　現(xiàn)存文獻(xiàn)中最早提到珠算盤的是明初的《對相四言》。明代中期公元十五世紀(jì)中葉《魯班木經(jīng)》中有制造珠算盤的規(guī)格：“算盤式：一尺二寸長，四寸二分大。框六分厚，九分大，……線上二子，一一寸一分；線下五子，三寸一分。長短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔開的不是木制的橫梁，而是一條線。比較詳細(xì)地說明珠算用法的現(xiàn)存著作有徐心魯?shù)摹侗P珠算法》（公元1573年）、柯尚_遷的《數(shù)學(xué)通軌》（公元 1578年）、朱載堉（1536—1611）的《算學(xué)新說》（公元1584年）、程大位的《直指算法統(tǒng)宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流傳最廣。

　　值得指出的是，在元代中葉和元末的文學(xué)、戲劇作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279 年）劉因在他的《靜修先生文集》中有一首關(guān)于算盤的五言絕詩；陶宗儀在他的《輟耕錄》中把婢仆貶作算盤珠，要撥才動；《元曲選》“龐居上誤放來生債”提到 “去那算盤里撥了我的歲數(shù)”，等等。文學(xué)、戲劇中用算盤珠作比喻，說明珠算盤已經(jīng)比較流行，也說明它是比較時新的東西。因此可以認(rèn)為，珠算出現(xiàn)在元代中葉，元末明初已經(jīng)普遍應(yīng)用了。

　　有的外國學(xué)者認(rèn)為我國的珠算出現(xiàn)在漢代，他們的根據(jù)是漢徐岳著、北周甄蠻注的《數(shù)術(shù)記遺》已經(jīng)明確提到珠算。我國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家錢寶琮（1892—1974）曾經(jīng)考證過，《數(shù)術(shù)記遺》是甄鸞依托偽造而自己注釋的書。在北周時，乘、除運(yùn)算都在上、中、下三層進(jìn)行，又沒有簡化乘、除法的歌訣，因此甄鸞注釋的珠算，充其量不過是一種記數(shù)工具或者只能作加減法的簡單算盤，和后來出現(xiàn)的珠算是完全不同的。

　　珠算還傳到朝鮮、日本等國，對這些國家的計(jì)算技術(shù)的發(fā)展曾經(jīng)起過一定的作用。日本人在十七世紀(jì)中葉，在中國算盤的基礎(chǔ)上，改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盤。