解答題

　　2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:自然數(shù)m,n對(duì)任何的3≤m≤n均有差數(shù)列.

　　3.求證:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)7n+1能被8整除.自然數(shù)n,f(n)>n.

　　a3,a4,并推測(cè)出{an}的通項(xiàng)公式,用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

　　求a2,a3,a4,并推測(cè)an的表達(dá)式,用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論.

　　答案：

　　成立.時(shí),多了一個(gè)頂點(diǎn),該頂點(diǎn)與原k邊形中的(k-2)個(gè)頂點(diǎn)可連成(k-2)條對(duì)角線,而原來的一條邊也變成對(duì)角線,故(k+1)邊形比k邊形增多了(k-1)條對(duì)角線

　　說明 本題也可用排列組合的方法證明

　　4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2

　　即 (a1+a3-2a2)2=0 ∴a1+a3=2a2 ∴命題成立;

　　②假設(shè)n=k(k≥3)時(shí)命題成立,即對(duì)于任何

　　a1,a2,…,an成等差數(shù)列

　　則當(dāng)n=k+1時(shí),由歸納假設(shè)a1,a2,…,ak成等差數(shù)列,設(shè)公差為d

　　令 ak+1-ak=m

　　去分母化簡(jiǎn)得 m2+d2-2dm=0

　　于是m=d 即ak+1-ak=d

　　∴a1,a2,a3,…,ak,ak+1成等差數(shù)列

　　故對(duì)任何n∈N命題成立.

　　3.(1)n=1時(shí),71+1=8能被8整除;

　　(2)假設(shè)n=k(k為正奇數(shù))時(shí)7k+1能被8整除(設(shè)7k+1=8M,M∈N)

　　則當(dāng)n=k+1時(shí)

　　7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48

　　=49×8m-8×6=8(49M-6)

　　∵49M-6∈N ∴命題成立.

　　4.(1)當(dāng)n=2時(shí),

　　(2)假設(shè)n=k(k≥2)不等式成立

　　因此 f(k+1)> f(k)+1> k+1.

　　(2)假設(shè)n=k時(shí),不等式成立

　　∴ n=k+1時(shí)不等式亦成立

　　由(1),(2)可知對(duì)一切n∈N不等式都成立.

　　證明(1)當(dāng)n=1時(shí),等式成立;

　　證明略