176.為什么用短除法能求出幾個數(shù)的最大公約數(shù)？

　　求幾個數(shù)最大公約數(shù)的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數(shù)的約數(shù)找出來，然后再找出公約數(shù)，最后在公約數(shù)中找出最大公約數(shù)。

　　例如：求12與18的最大公約數(shù)。

　　12的約數(shù)有：1、2、3、4、6、12。

　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18。

　　12與18的公約數(shù)有：1、2、3、6。

　　12與18的最大公約數(shù)是6。

　　這種方法對求兩個以上數(shù)的最大公約數(shù)，特別是數(shù)目較大的數(shù)，顯然是不方便的。于是又采用了給每個數(shù)分別分解質因數(shù)的方法。

　　12=2×2×3

　　18=2×3×3

　　12與18都可以分成幾種形式不同的乘積，但分成質因數(shù)連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質因數(shù)無疑都能整除原數(shù)，因此這些質因數(shù)也都是原數(shù)的約數(shù)。從分解的結果看，12與 18都有公約數(shù) 2和 3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公約數(shù)。

　　采用分解質因數(shù)的方法，也是采用短除的形式，只不過是分別短除，然后再找公約數(shù)和最大公約數(shù)。如果把這兩個數(shù)合在一起短除，則更容易找出公約數(shù)和最大公約數(shù)。

　　從短除中不難看出，12與18都有公約數(shù)2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數(shù)。與前邊分別分解質因數(shù)相比較，可以發(fā)現(xiàn)：不僅結果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個數(shù)的公共質因數(shù)，而兩個數(shù)的最大公約數(shù)，就是這兩個數(shù)的公共質因數(shù)的連乘積。