對稱性：函數圖象存在的一種對稱關系，包括點對稱和線對稱。

　　周期性：設函數 的定義域是 ，若存在非零常數 ，使得對任何 ，都有 且 ，則函數 為周期函數， 為 的一個周期。

　　對稱性和周期性是函數的兩大重要性質，他們之間是否存在著內在的聯系呢？本文就來研究一下它們之間的內在聯系，有不足之處望大家批評指正。

　　一、一個函數關于兩個點對稱。

　　命題1：如果函數 的圖象關于點 和點　對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　又∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　特例：當 時， 為奇函數，即奇函數 如果又關于點　對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　命題 ：如果函數 的圖象關于兩點 和 對稱，那么：

　　當 ， 時， 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　當 ， 時， 不是周期函數。

　　證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　又∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　從而

　　當 ， 時

　　∴

　　即：

　　∴當 ， 時， 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　當 ， 時

　　∴

　　∴

　　∴當 ， 時， 不是周期函數。

　　當 ， 時

　　∴ （與條件矛盾，舍去）

　　綜合得原命題成立。

　　二、一個函數如果關于一個點和一條線對稱。

　　命題2：如果函數 的圖象關于點 和直線　對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　又∵函數 的圖象關于直線 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　特例：當 時， 為奇函數，即奇函數 如果又關于直線　對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　命題 ：如果函數 的圖象關于點 和直線 對稱，那么函數 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　證明：∵函數 的圖象關于點 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　又∵函數 的圖象關于直線 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　從而

　　∴

　　即：

　　∴

　　即：

　　∴ 是周期函數， 為函數 的一個周期。

　　三、一個函數如果關于兩條線對稱。

　　命題3：如果函數 的圖象關于直線 和直線 對稱，那么函數 是以 為周期的周期函數。

　　證明：∵函數 的圖象關于直線 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　又∵函數 的圖象關于直線 對稱，

　　∴ 對定義域內的所有 成立。

　　從而

　　∴ 即：

　　∴

　　∴ 是以 為周期的周期函數。