一、分數與除法

　　在自然數集合里，加法和乘法運算總是可以實施，但減法和除法卻不行；引入分數，自然數集合擴充為非負有理數集合后，除法運算才變得暢通無阻。

　　例如，3÷4＝？在自然數集合里找不到一個與3÷4對應的自然數，而在非負有理數集合里卻找到了一個且只有一個分數，與3÷4對應，即3÷4＝。

　　如何理解3÷4＝的數學意義呢？

　　⑴表示3是4的。其中3與4表示不同的兩個量，而是量數，是以4為基準量去度量3所得的結果。

　　一般地，a、b都是非零的自然數時，a÷b＝。

　　⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。這里，3和都表示量，而4是量數。

　　事實上，任意兩個正有理數相除，都具有上述兩種數學意義。

　　例如“3÷＝？”也有下面兩種數學意義：

　　⑴3是的幾分之幾？

　　從上圖，可以看出：3÷＝。

　　⑵3平均分成份，每份是多少？

　　因為是5個的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下圖所示。

　　從上圖，也可以看出：3÷＝。

　　注意：a、b都不是0，但只要有一個是分數，那么a÷b≠。

　　所以，如果忽視必要的前提，籠統地說被除數即分子、除數即分母，是不正確的。當且僅當a、b都是不為零的自然數時，等式a÷b＝才成立。這個命題還告訴我們，分數可以轉化為除法，這為分數化為小數打通了一條重要途徑。

　　二、百分數

　　百分數是否就是分母是100的分數？如果是，又何必需要這個新概念呢？

　　事實上，百分數是在分數應用的實踐中產生和發展起來的。我們先來解決下面的實際問題：

　　在一場足球比賽中，猛虎隊獲得一次罰點球的機會，他們準備派下列三名隊員中的一名去罰點球。下面是這三名隊員在過去比賽中罰點球的成績統計表。

　　隊員

　　踢點球的次數

　　罰中的次數

　　3號隊員

　　18

　　20

　　5號隊員

　　21

　　25

　　7號隊員

　　13

　　12

　　　從這個實際問題抽象成的數學問題是：比較分數、、的大校

　　 解法1：（化為同分母的分數進行比較）

　　＝，

　　＝，

　　＝。

　　因為＞＞，

　　所以＞＞。

　　由此可知，7號隊員以往罰點球的成績最佳，派他去罰點球是明智的選擇。

　　不過，上面三個分數分母的最小倍數（1300）是比較大的，因此通分不僅比較費勁，也容易出差錯。

　　解法2：（化為小數進行比較）

　　＝18÷20＝0.90，

　　＝21÷25＝0.84，

　　＝12÷13＞0.923。

　　因為0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。

　　化為小數，雖然可以借以比較分數的大小，但小數卻失去了原來分數的特性，即表示量的倍比關系的意義。因此，需要尋找既能保持分數的特性，計算又比較簡便的解題方法。就在這種需要的驅動下，百分數應運而生了。

　　新的辦法就是把分母統統變成100。

　　把與化為分母是100的分數不難：＝，＝。

　　問題在于怎樣把也變成分母是100的分數呢？

　　設所化成的分數的分子為x，即

　　＝，

　　兩邊同乘100，得

　　x＝×100，

　　x≈92.3。

　　所以，≈。這個結果與前面學過的分數不同的地方是，它的分子是一個小數。

　　的意義是：如果把13平均分成100份，那么12大約占其中的92.3份。也就是說，這種分數只能表示兩個量的倍比關系，而不具有表示量的功能。

　　于是，人們把形如，，，......等，只能表示量的倍比關系，不能表示量的分數，統稱為百分數；并引入新的符號“％”（叫做百分號），把百分數記為84％，90％，92.3％，......，以便從形式上與前面學過的分數加以區別。

　　顯然，84％＜90％＜92.3％，通過百分數的大小比較，也說明是7號隊員點球的罰中率最高。

　　誠然，把分數化為百分數還有更簡捷的途徑，即通過小數轉化。

　　如，≈0.923＝92.3％。但是這種方法，對于理解百分數的意義，不如方程的方法直觀。

　　三、比

　　比，顧名思義，與人類比較事物的實踐活動密切相關。比的概念是在比較不同的量的倍比關系的實踐中產生和發展的。

　　下面先探討一個現實問題--平面圖畫得像不像。

　　例1羽毛球場是長18m、寬9m的長方形，如下圖A。

　　⑴在B、C、D、E、F等圖形中，你認為哪幾個長方形的形狀像圖A，哪幾個不像？

　　⑵對形狀與圖A（羽毛球場）相同的長方形，請你比較它們的長和寬，能發現其中的規律嗎？

　　⑶在圖A內，請你畫一個形狀與圖A相同的長方形，且這個長方形的長是圖A的長的。

　　任何正方形的形狀都一樣，但長方形的形狀卻有差異。圖A恰好可以分成兩個大小相同的正方形。發現圖A的這個特性，能幫助我們找出其他形狀與圖A相同的長方形，如圖D和E。而圖B、C和F都不具有圖A的這種特性，所以它們的形狀與圖A不同。

　　圖A可以分成兩個大小相同的正方形，等價于它的長是寬的2倍。形狀與圖A相同的長方形，長都是寬的2倍；形狀與圖A不同的長方形，長都不是寬的2倍。這就是我們發現的規律。

　　一般地，a、b分別表示一個長方形的長和寬，分數表示這個長方形的長與寬的倍比關系。這個分數的重要性在于它提供了長方形的一個分類標準：凡是長是寬的倍的長方形，都是形狀相同的長方形，它們歸為一類。圖形的分類對于認識圖形的性質具有重要的意義。

　　不過用“長是寬的倍”來刻畫長方形的形狀特征，有時很麻煩。例如，當a或b是分數時，是一個繁分數。為了避免進行繁分數的繁難運算，就需要改進對“長是寬的倍”這一特征的描述，從而引入比的概念。

　　“長是寬的倍”，可以用“長與寬的比是a︰b”取而代之。

　　當a、b表示兩個不同的量時，a︰b＝＝a÷b。

　　所以，比可以定義為：兩個量相除，叫做這兩個量的比。

　　雖然比、分數、除法在揭示量的倍比關系方面是相通的，但對于不同的問題情境，仍然需要選擇恰當的簡便的表征方式，并掌握它們的相互轉換。

　　例2蜂蜜綠茶是用2份蜂蜜和7份綠茶配制成的消暑飲料，要配制450毫升這種飲料，需要蜂蜜和綠茶各多少毫升？

　　在這個問題中，蜂蜜和綠茶體積的倍比關系用比的形式表示比較簡便，即蜂蜜︰綠茶＝2︰7。

　　解法1：（應用方程）

　　設：一份蜂蜜或綠茶的體積為x毫升，則配制蜂蜜綠需用蜂蜜2x毫升，綠茶7x毫升。

　　2x＋7x＝450，

　　9x＝450

　　x＝50。

　　2x＝2×50＝100，

　　7x＝7×50＝350。

　　答：配制蜂蜜綠茶需要100毫升蜂蜜和350毫升綠茶。

　　解法2：（綜合應用比和分數）蜂蜜︰綠茶＝2︰7＝︰，且

　　＋＝1。因此，蜂蜜綠茶兩個組成部分的倍比關系就轉換成各部分與整體（蜂蜜綠茶）的倍比關系。從而，為應用分數解決問題創造了條件，圖示如下：

　　450×＝100，

　　450×＝350。

　　解法1是代數方法，解法2是算術方法，殊途同歸。

　　例37個女生平分4個蛋糕，3個男生平分2個蛋糕。是每個女生分得多一些，還是每個男生分得多一些？

　　解法1：每個女生分得個蛋糕，每個男生分得個蛋糕。問題可以歸結為比較分數與的大小。比較兩個量的倍比關系又有如下兩種方法。

　　方法1：（利用除法）

　　÷＝×＝。

　　因為＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　方法2：（利用比）

　　︰＝12︰14。

　　因為12︰14＜1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　解法2：（利用比）分別考慮男、女生的蛋糕數量或人數的倍比關系。

　　女生蛋糕︰男生蛋糕＝4︰2＝2︰1，

　　女生人數︰男生蛋糕＝7︰3。

　　因為7︰3＞6︰3＝2︰1，所以男生分得蛋糕比女生多一些。

　　解法3：（利用圖解）

　　上圖說明，如果只有6個女生平分4個蛋糕，那么女生和男生將分得同樣多。但女生有7個，7個女生平分4個蛋糕，每個女生分得的蛋糕要比6個女生平分的情形少一些。所以，男生分得的蛋糕比女生多。

　　上述解法2與解法3有異曲同工之妙，妙在都自然地滲透了數學的基本思想方法--對應。

　　比的概念不僅進一步揭示了分數的本質--量的倍比關系，而且也豐富了表征思維過程的方法和手段，使我們面臨解決與分數相關的實際問題的時候，有更多的思路和方法可以選擇，可以靈活轉換，左右逢源。