利用分?jǐn)?shù)乘法的知識(shí)，可以解決日常生活中的很多實(shí)際問題。
下面是一個(gè)實(shí)際問題：
跳繩的小朋友有6人，是操場(chǎng)上參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的，操場(chǎng)上有多少人參加活動(dòng)？
首先，從這個(gè)實(shí)際問題能提出什么數(shù)學(xué)問題呢？（可以用普通語言、圖形語言或符號(hào)語言表示數(shù)學(xué)問題）
⑴用普通語言表示：什么數(shù)的等于6？
⑵用線段圖表示：
06？
01
⑶用方程表示：
如果用x表示操場(chǎng)上活動(dòng)的總?cè)藬?shù)，則
x×＝6。
一般用普通語言描述的數(shù)學(xué)問題（習(xí)慣地稱為文字題），要轉(zhuǎn)化為圖形或算式或方程，才能求解。
根據(jù)⑵，有簡(jiǎn)單的解法：
6÷2＝3，
3×9＝27（人）。
答：操場(chǎng)上有27人參加活動(dòng)。
由于還沒學(xué)分?jǐn)?shù)除法，所以，根據(jù)⑴或⑵，學(xué)生不可能直接列出除法算式。
根據(jù)⑶，要解方程：x×＝6。
x××＝6×，
x＝27。
檢驗(yàn)：27×＝6，符合題意。
答：操場(chǎng)上有27人參加活動(dòng)。
我們看到，有了方程，利用分?jǐn)?shù)乘法就可以解決用算術(shù)解法時(shí)要用分?jǐn)?shù)除法才能解決的實(shí)際問題。
解決了上述的問題后，如何擴(kuò)大戰(zhàn)果呢？對(duì)原來的問題進(jìn)行變式，提出新的問題，是一個(gè)重要的教學(xué)策略。
從上述實(shí)際問題，能改編成哪些問題呢？
1．操場(chǎng)上有27人參加各種活動(dòng)，跳繩的小朋友有6人。跳繩的人數(shù)是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的幾分之幾？
從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：6就27的幾分之幾？
線段圖：
0627
0？1
算式：6÷27＝？
解：6÷27＝＝。
答：跳繩的人數(shù)是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的
2．操場(chǎng)上有27人參加各種活動(dòng)，跳繩的小朋友是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的。跳繩的小朋友多少人？
從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：27的是多少？
線段圖：
0？27
01
算式：27×＝？
解：27×＝＝6。
答：跳繩的人數(shù)有6人。
上面一個(gè)實(shí)際問題及其兩個(gè)變式問題，事實(shí)上就是分?jǐn)?shù)乘除法解決實(shí)際問題的三個(gè)原型。把這三個(gè)原型安排在同一節(jié)解決問題的課時(shí)里，有利于比較它們的異同點(diǎn)。特別是從上面三幅線段圖，很容易發(fā)現(xiàn)和把握它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)原型問題的聯(lián)系與區(qū)別，從而促進(jìn)知識(shí)的綜合貫通和深化發(fā)展。
掌握分?jǐn)?shù)乘法解決問題的三個(gè)基本原型后，實(shí)際問題還要向綜合應(yīng)用的方向發(fā)展。
（一）分?jǐn)?shù)同級(jí)的混合運(yùn)算
數(shù)學(xué)情景：
航模小組有多少人？
在這個(gè)數(shù)學(xué)情景中，信息豐富，已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系也比較復(fù)雜。要求航模小組的人數(shù)，先要求出攝影小組的人數(shù)。對(duì)于信息較多的問題，利用線段圖來整理、描述已知與未知之間的關(guān)系，是分析問題與解決問題的重要策略：
0？12
01
0？？
01
在這個(gè)問題中，有兩個(gè)不同的基準(zhǔn)量（即單位“1”）：以氣象小組的人數(shù)為基準(zhǔn)去度量攝影小組的人數(shù)時(shí)，量數(shù)是；以攝影人數(shù)為基準(zhǔn)去度量航模小組的人數(shù)時(shí)，量數(shù)是。所以，這個(gè)問題包含兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。
解法1：（分步列式）
12×＝4，
4×＝3。
答：航模小組的人數(shù)是3人。
解法2：（綜合列式）
12××＝4×＝3。
答：（略）
有數(shù)學(xué)教育的研究表明，列綜合算式的思維并不見得比分步解決問題的思維高明。呈現(xiàn)綜合列式的解法，主要為了說明：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序一樣。
解決這個(gè)問題還有一種重要思路，即統(tǒng)一基準(zhǔn)。為此，需要從提出并解決下面的數(shù)學(xué)問題入手：
航模小組人數(shù)的是氣象小組的幾分之幾呢？
線段圖：
0？
01
解法3：（分步列式）
×＝表示航模小組人數(shù)是氣象小組的，
12×＝3。
答：（略）
解法4：（綜合列式）
12×（×）＝12×＝3。
答：（略）
解法3、解法4的關(guān)鍵，是單位“1”的轉(zhuǎn)換。這種數(shù)學(xué)思考的抽象水平比前面的解法要高些；一旦理解了，就開竅了。
同樣，上述課外小組的實(shí)際問題，也可以改編為變式問題。如：
變式問題1：航模小組有3人，是攝影小組人數(shù)的，攝影小組人數(shù)是氣象小組的，氣象小組有多少人？
表征這個(gè)實(shí)際問題的線段圖，留給讀者自己畫。
解法1：（代數(shù)解法）
設(shè)：氣象小組人數(shù)有x人，則攝影小組的人數(shù)有x人。
×x＝3，
x＝3，
x＝12。
答：（略）
如果學(xué)過分?jǐn)?shù)除法，還有下面的算術(shù)解法。
解法2：
3÷÷＝3××3＝12。
答：（略）
變式問題2：攝影小組有4人，是氣象小組人數(shù)的，是航模小組人數(shù)的，航模小組有多少人？
這個(gè)變式問題的線段圖表征及解法，都留給讀者自己完成。
事實(shí)上，還可以編出更多的變式問題。
（二）分?jǐn)?shù)不同級(jí)的混合運(yùn)算
分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用還有一個(gè)重要的情形，即增加或減少幾分之幾的問題。
看下面的數(shù)學(xué)情景：
第十屆動(dòng)物車展，第一天成交量是65輛，第二天成交量比第一天增加了，第二天的成交量是多少？
從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：65增加了是多少？
線段圖：
065？
01
解法1：（先求第二天增加多少輛）
65×＝13，
65＋13＝78。答：（略）
解法2：（先求第二天是第一天的幾倍）
1＋＝，
65×＝78。答：（略）
以上兩種解法，都可以列成相應(yīng)的綜合算式（這里從略）。更為重要的挑戰(zhàn)是，從這個(gè)實(shí)際問題能提出哪些變式問題，并加以解決。
變式問題1：第一天成交量是65輛，第二天成交是78輛，第二天的成交量比第一天增加了幾分之幾？
變式問題2：第二天成交量是78輛，比第一天增加了，第一天的成交量是多少？
變式問題3：第一天成交量是65輛，第二天成交量比第一天減少了，第二天的成交量是多少？
從變式問題3，又可以提出兩個(gè)變式問題。
這些變式問題如何用線段圖表征，怎樣解答，都留給讀者自己完成。
有人認(rèn)為，新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的習(xí)題量不夠。其實(shí)，如果重視習(xí)題的變式教學(xué)，并教會(huì)學(xué)生變式的方法，那么教材中的基本習(xí)題就成為豐富的變式問題的源泉，還用愁習(xí)題太少嗎？
變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)好傳統(tǒng)，必須把它繼承下來，并發(fā)揚(yáng)光大。變式教學(xué)還有很多優(yōu)點(diǎn)，如，變式教學(xué)不但能提高教學(xué)效率，而且在變式的變化中，能夠突出不變性，這不變性往往就是數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，就是數(shù)學(xué)的規(guī)律性所在。
