教學目標

　　1．使學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策論方法在解決實際問題中的應用。

　　2．使學生認識到解決問題策略的多樣性，形成尋找解決問題最優方案的意識。

　　3．讓學生感受到數學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。

　　4．使學生逐漸養成合理安排時間的良好習慣。

　　教材說明

　　和前面幾冊教材一樣，在本冊中也專門安排“數學廣角”一單元，向學生滲透一些重要的數學思想方法。和以往的義務教育教材相比，這部分內容也是新增的內容。

　　本單元主要是通過日常生活中的一些簡單事例，讓學生嘗試從優化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用以及對策論方法在解決問題中的運用。《標準》中指出：當學生“面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略。”在日常生活中，解決問題的方法學生很容易找到，而且會找到解決問題的不同的策略，這里的關鍵是讓學生理解優化的思想，形成從多種方案中尋找最優方案的意識，提高學生的解決問題的能力。

　　優化問題是人們經常要遇到的問題，例如，我們出門旅行就要考慮選擇怎樣的路線和交通工具，才能使旅行所需費用最少或者所花的時間最短；又如著名的郵遞員送信最短路線問題。在經濟建設、工農業生產、交通運輸、軍事國防等各行各業都會面臨優化的問題，比如企業要考慮怎樣安排生產能使利潤最大，農民會考慮怎樣安排播種能使年產量最多等等。當年華羅庚先生提出的“優選法”已經廣泛地應用于人們的生產和生活中了，現在這些思想已經形成了數學中一門應用性很強的分支──運籌學。在這一單元我們主要是通過一些簡單的優化問題向學生滲透優化思想，例如，例1討論烙餅時怎樣操作最省時間；例2分析家里來客人需要沏茶時，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；在“做一做”中安排了餐廳怎樣安排炒菜的順序能讓客人都盡快吃上菜等等；例3安排的是在碼頭卸貨時，按照怎樣的順序卸貨能讓三艘船總的等候時間最少，接下來的“做一做”是醫務室的就診順序問題。通過這些生活中常見的這些簡單事例，讓學生從中體會運籌思想在解決問題中的作用。

　　其實我國古人早就有了豐富的運籌思想，比如戰國時期“田忌賽馬”的故事，就是對策論的應用。對策論是運籌學的一個分支，對策論的方法也是運籌思想中常用的方法之一，在體育比賽中經常會用到。比如在乒乓球團體比賽中就要根據不同的對手來排兵布陣，這里就用到了對策論的方法。例4就呈現了“田忌賽馬”的故事，讓學生體會對策論的方法在實際中的應用。最后還安排了一個“數學游戲”，學生可以去思考在這個報數游戲中先報數的人采用怎樣的對策就能保證一定獲勝。

　　教學建議

　　1．適當把握教學要求。

　　運籌思想和對策方論的理論都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這里只是讓學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策方法在解決實際問題中的應用，初步培養學生的應用意識，提高解決實際問題的能力。學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優的方案，初步體會優化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從優化的角度給出最優的方案。另外老師在教學中也不要使用運籌、優化和對策等數學化的語言進行描述。

　　2．本單元內容可用3課時進行教學。

　　具體內容的說明和教學建議

　　1．例1。

　　例1討論烙餅時怎樣合理安排操作最節省時間，讓學生體會在解決問題中優化思想的應用。教材首先給出一幅生動有趣的情境圖：媽媽正在烙餅，并且說出了烙餅的方法“每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘”。小女孩說：“爸爸、媽媽和我每人一張。”也就是說總共要烙3張餅。然后小精靈提出問題：“怎樣才能盡快吃上餅？”接下來教材呈現出3個學生互相討論交流的場景。第一個學生說的方法是一張一張地烙：“烙一張餅要6分鐘，烙3張餅要18分鐘。”旁邊的小女孩說：“一張一張地烙太費時間了。”提示學生還可以有更快捷的方法。接下來另一個小女孩給出了她的方法：“可以先烙兩張，再烙一張，這樣省時間。”通過計算學生可以發現這種方法只需要12分鐘，比第一種方法節省了6分鐘。當然，這還不是最優的方法。所以，教材接下來提出：還可以怎樣烙？哪種方法比較合理？讓學生繼續探索。這里最好的方法是：先烙1，2號餅的正面，接著烙1號餅的反面和3號餅的正面，最后烙2，3號餅的反面。這種方法只需9分鐘。最后，教材提出：如果要烙的是4張餅，5張餅......10張餅呢？讓學生根據前面的方法獨立思考，尋找合理、快捷的烙餅方案。

　　教學時，教師首先要引導學生觀察、理解情境圖里的內容。可以提問：烙1張餅需要幾分鐘？烙兩張餅呢？使學生明確要解決的問題：一共要烙3張餅，怎樣烙花費的時間最少？

　　理解了問題情境和需要解決的問題后，先讓學生獨立思考，再分小組討論交流，說一說自己是怎樣安排的，自己的方案一共需要多長時間烙完。學生可能會有不同的方案，教師可以把各小組匯報的不同方案在黑板上展示出來，讓大家來比較各種方案的優劣。如果學生已經想出了最好的方法，老師對此可以再加以詳細的分析；如果學生只出現課本上的兩種方法，老師可以引導學生思考討論，在討論的基礎上讓學生發現更優的方案。

　　在探索更優的方案時，教師可以這樣啟發引導：在用第二種方法烙第3張餅的時候，本來一次可以烙兩張餅的鍋現在只烙了一張，這里可能就浪費了時間。想一想，會不會還有更好的方法呢？啟發學生發現：如果鍋里每次都烙2張餅，就不會浪費時間了。接著可以進一步啟發學生：一張餅正反面分別要烙3分鐘，怎樣安排才能每次都是烙的2張餅呢？

　　也可以讓學生動手實驗試一試，并要求把實踐的結果記錄下來。可以用硬幣、課本或者寫著“正”“反”兩字的橡皮來代表餅，分別用他們的正反面代表烙餅的正反面。學生記錄的方法也可以有不同，可以用圖示的方法，還可以用下面的表格記錄（供參考）。通過實驗，可以發現用這種方法烙餅總共只需要9分鐘。

　　1

　　2

　　3

　　第一次

　　正

　　正

　　第二次

　　反

　　正

　　第三次

　　反

　　反

　　 在此基礎上，讓學生比較上面討論過的各種方法，體會優化思想在解決實際問題中的應用。最后還可以讓學生在實驗的基礎上獨立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅......10張餅，怎樣安排最節省時間？再通過小組討論交流，說一說自己的發現。其正確的結果是：如果要烙的餅的張數是雙數，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數是單數，可以先2個2個的烙，最后3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。

　　2．例2。

　　例2以家里來客人要沏茶的實際素材為背景，提出“怎樣安排才能盡快讓客人喝上茶？”問題，繼續討論如何用優化的思想選擇合理、快捷的解決問題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的時間。然后呈現學生們討論怎樣安排的場面。在這些內容中包含了解決這一問題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時做，能同時做的事盡量同時做，這樣才能節省時間。比如“要燒水，必須先洗水壺，接水。”小男孩想：“等待水開的時間可以做點什么呢？”等，提示學生有些事情（燒水和找茶葉、洗茶杯等）可以同時進行。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。最后，教材讓學生比一比誰的方案所需的時間最少，誰的方案更合理；再一次揭示了討論這一問題的目的：探討解決問題的優化方案。

　　教學例2時，教師首先引導學生觀察、理解情境圖，可以讓學生用講故事的方法引出問題。之后可以組織學生討論：沏茶都需要做哪些事情？每件事大概需要多長時間？學生討論交流后，再出示教材中給出的圖例。

　　接下來可讓學生分小組來設計方案，要讓學生首先思考并討論清楚：這些工序中哪些事情要先做？哪些事情可以同時做？在小組匯報時，教師可以引導學生用畫箭頭的方法把沏茶的過程圖表示出來，再讓各小組把自己的方案用這種流程圖表示出來，然后在全班展示。

　　最后，讓學生比較同學們設計的方案，看看每一種方案中，沏茶的順序對不對，所需的時間各是多少。從中選出最佳的方案。下面是參考的答案（當然還可以顯示出時間）：

　　“做一做”的問題可以讓學生先獨立思考，然后再通過小組討論看看誰的方案最合理。

　　第1題是與例1配合的，意思是：餐廳現在同時來了3位顧客，每人點了兩個菜，而只有兩個廚師，怎樣安排炒菜的順序比較合理呢？與例1的解決方法相同，應先給前兩個人各炒一個菜，接下來給第一個人和第三個人各炒一個菜，最后給后兩個人各炒一個菜。匯報交流時，可以讓學生們說一說自己的理由。

　　第2題是與例2對應的，是關于生病吃藥中各項事情的安排問題。這里通過表格的方式給出吃藥時要做的各項事情以及所需的時間，讓學生來合理安排。與例2的解決方法相同，一方面要考慮各項事情的先后順序，比如要先倒水，然后才能等水變溫；另一方面要考慮哪些事情可以同時進行，比如在等開水變溫的時候可以找感冒藥，還可以量體溫，這樣就能節省時間了。

　　第3題是讓學生互相交流一下生活中還有哪些事情可以通過合理安排來提高效率，體會優化思想在生活中的應用，并逐漸養成合理安排時間的良好習慣。學生可以從各個方面、各個行業去考慮，但主要還是結合學生的實際生活，從身邊的事例中尋找。比如在學校里，打掃衛生時怎樣合理安排各項事情能節省時間，在家里用洗衣機洗衣服時，還可以同時整理房間等等。在此，教師可以結合具體事例教育學生養成合理安排時間的良好習慣。

　　3．例3。

　　例3是關于排隊論的問題，排隊論是關于隨機服務系統的理論，其中的一項研究是怎樣使服務對象的等候時間最少的問題。教材出示了一個碼頭卸貨的情景：碼頭上現在同時有3艘貨船需要卸貨，但是只能一船一船地卸貨，并且每艘船卸貨所需的時間各不相同，那么按照怎樣的順序卸貨能使三艘貨船等候的總時間（等候時間包括卸船時間）最少呢？教材沒有給出答案，而是讓學生自己來解決。這里卸貨順序的種數是一個排列問題，一共有6種不同的方案，主要是要讓學生從中選出最優的方案。學生可以計算出每種方案中三艘貨船的等候時間的總和各是多少，從而找出最優的卸貨順序。

　　接下來的“做一做”安排了3名同學同時到學校醫務室看病，每人就診所需的時間各不相同，怎樣安排他們的就診順序可以使他們的等候時間之和最少。要解決的問題和例3基本相同。

　　教學例3時，教師可以先引導學生觀察情境圖，讓學生說一說可以得到哪些信息。然后提出問題：要使三艘貨船的等候時間的總和最少，應該按怎樣的順序卸貨？接著可以讓學生分小組討論：①可以有哪些卸貨的順序？②每種方案總的等候時間是多少？在這里卸貨順序的方案是一個排列問題，學生一共可以找出6種不同的方案，教師可以引導學生用表格的方式羅列出來。可以用船1．船2和船3分別代表三艘貨船（教材圖中從上到下的順序），并讓學生算出每種方案三艘貨船的等候時間的總和。