14.3  列不定方程解應用題

　　有些應用題，用代數方程求解，有時會出現所設未知數的個數多于所列方程的個數，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。

　　例10 六（1）班舉行一次數學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績為4分，女生的平均成績為3.25分，而全班的平均成績為3.6分。如果該班的人數多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？

　　解：設該班有x個男生和y個女生，于是有

　　4x+3.25y=3.6（x+y），

　　化簡后得8x=7y。從而全班共有學生

　　在大于30小于50的自然數中，只有45可被15整除，所以

　　推知x＝21，y=24。

　　答：該班有21個男生和24個女生。

　　例11 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？

　　解：設套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據得61分可列方程

　　9x+5y+2（10-x-y）=61，

　　化簡后得7x=41－3y。

　　顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數解；若y=2，7x=35，解得x=5。

　　答：小明至多套中小雞5次。

　　例12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服？

　　分析：不能僅按生產上衣或褲子的數量來安排生產，應該考慮各組生產上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產。

　　我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數最多。

　　一般情況，設A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產。

　　設甲組生產上衣x天，生產褲子（7-x）天，乙組生產上衣y天，生產褲子（7-y）天，則4個組分別共生產上衣、褲子各為6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（條）。依題意，得

　　42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，

　　令u＝42＋8x＋9y，則

　　顯然x越大，u越大。故當x=7時，u取最大值125，此時y的值為3。

　　答：安排甲、丁組7天都生產上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產的套數最多，共計125套。

　　說明：本題仍為兩個未知數，一個方程，不能有確定解。本題求套數最多，實質上是化為“一元函數”在一定范圍內的最值，注意說明取得最值的理由。