第十三講 估計與估算

　1992年小學數學奧林匹克初賽（B）卷第3題是：

的結果是x。那么，與x最接近的整數是____。

　　這道題并不要求求x，而求“與x最接近的整數”，這就是估計或估算。

　　估計與估算是一種十分重要的算法，在生活實踐和數學解題中有廣泛的應用，其表現形式通常有以下兩種：

　　（1）省略尾數取近似值，即觀其“大概”；

　　（2）用放大或縮小的方法來確定某個數或整個算式的取值范圍，即估計范圍。

　　例1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小數點后前3位數字。

　　解：A＞1234÷3122=0.3952…

　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…

　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小數點后前3位數是395。

　　說明：上述解法是采用放縮法估計范圍解答的，本題還可采用取近似值的辦法求解。解法如下：

　　將被除數、除數同時舍去13位，各保留4位，則有

　　1234÷3121≈0.3953≈0.395。

得它們的和大于3，至少要選多少個數？

　　解：要使所選的數盡量少，所選用的數就應盡量大，所以應從開頭依次選。首先注意到：

　　從而

　　所以，至少應選11個數。

　　說明：（1）上述解答是采用取近似值的辦法估值的，也可以利用放縮法估值解答。解法如下：

　　所以，至少應選11個數。

　　（2）以上解答過程中包括兩個方面，其一是確定選數的原則；其二是驗算找到“分界聲、”，而這里的驗算只是一種估計或估算，并不要求精確。

　　（3）類似的問題是至少取出多少個數，才能使取出的數的和大于2？

　　答案是7，請讀者自己練習。

　　例3 右面的算式里，每個方框代表一個數字。問：這6個方框中的數字的總和是多少？

　　解：每個方框中的數字只能是0～9，因此任兩個方框中的數字之和最多是18。現在先看看被加數與加數中處于百位的兩個數字之和，這個和不可能小于18，因為不管它們后面的兩個二位數是什么，相加后必小于200，也就是說最多只能進1。這樣便可斷定，處于百位的兩個數字之和是18，而且后面兩位數相加進1。

　　同樣理由，處于十位的兩個數字之和也是18，而且兩個個位數字相加后進1。因此，處于個位的兩個數字之和必是17。

　　所以，6個方框中數字之和為18＋18＋17=53。

　　例4 如果兩個四位數的差等于8921，就說這兩個四位數組成一個數對，那么這樣的數對共有多少個，

　　解：最小的四位數是1000，與1000組成一個數對的另一個四位數是 8921＋1000=9921，也就是最小一個數對是 9921與1000。同時由最大的四位數是9999，可知共有

　　9999-（9921—1）=79（個）

　　不同的被減數。所以，這樣的數對共有79個。

　　說明：解答的關鍵在于確定符合條件的的最小數對（9921，1000），同時因為有幾個不同的被減數，就有幾個不同的減數相對應地存在，所以我們只要考慮有幾個不同的被減數即可。

　　例5 七位數175□62□的未位數字是幾時，不管千位上是0～9中的哪一個數字，這個七位數都不是11的倍數？

　　解：因為1750620÷11＝159147……3，

　　　　　　1759629÷11＝159966……3，

　　所以這個七位數是11的倍數的最小值是1750628，最大值是1759626。

　　又因為1001=7×11×13，由數的整除性質，可知1750628加上若干個1001，或1759626減去若干個1001后，其值也是11的倍數。這樣1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620都是11的倍數。

　　由上述討論可知七位數175□62□的末位數字是7時，不管其千位上是0到9中的哪一個數字，這個七位數都不是11的倍數。

　　說明：上述解法是利用估算確定出取值范圍再進行討論。此題也可由能被11整除的數的特征入手解決。留給讀者思考。