這部分內容共有三道例題。它們的共同點是每道例題都擔負著教學列方程和教學解方程的雙重任務。這是本單元學習的難點。
1.例1。

編寫意圖
例1的題材源于足球的構成，即一個現代足球是由12塊正五邊形的黑色皮和20塊正六邊形的白色皮制成的。這種完美的球形結構，令一些數學家、建筑學家和化學家著迷。教材呈現給同學們的問題是：已知白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，問黑色皮有多少塊？
    這道題的數量關系，學生容易想到的有以下三種形式
        黑色皮的塊數×2－白色皮的塊數＝4
        黑色皮的塊數×2－4＝白色皮的塊數
        黑色皮的塊數×2＝白色皮的塊數＋4
    比較而言，前兩種形式的數量關系，更容易理解，而且都能引入形如ax±b=c的方程，有利于達成既學列方程，又學解方程的教學目標。因此，教材的解答,選用了第一種形式的等量關系，即把黑色、白色皮的塊數關系看成一個數的幾倍與另一數比大小的關系。與其相應的順思考問題，就是求比一個數的幾倍多（或少）幾的數是多少。
    例1若用算術方法解，需要逆思考，思維難度較大，學生容易出現先除后減的錯誤。通常不作教學要求。這里用方程解，思路比較順，體現了列方程解實際問題的優越性。
    從這里開始，教材要求學生自己寫出用字母x表示未知數的設句。
    列出方程之后，怎樣解這樣的方程呢？實際上，形如ax±b=c的方程，是由ax=d與y±b=c綜合而成的。因此，教材介紹的解法，先把ax作一個整體，求出ax等于多少，再求x等于多少。
    最后，提示學生交流不同解法，并繼續提醒“記住驗算”。
教學建議
（1）教學前，可以組織兩個內容的準備性練習，為新授做好鋪墊。一是針對幾倍多（少）幾的數量關系，進行列方程的練習。如：
公雞x只，母雞30只，比公雞只數的2倍少6只。

    二是解方程的練習。如：y－20＝4，2x＝24等。
（2）出示例題后，首先引導學生審題，識別哪些信息是解決“求黑色皮塊數”這個數學問題所需要的。然后分析白色皮塊數與黑色皮塊數之間的關系，如有必要，可畫線段圖幫助分析。

然后提問：
①怎樣把x表示什么寫清楚？
②怎樣列方程？
    應當允許學生得出不同的數量關系式，列出不同的方程。
    教師選擇2x－20＝4討論它的解法。強調先把2x看作一個整體，先求出2x等于多少，再求出x等于多少。然后讓學生自己檢驗。
接下去，就可以請列出不同方程的學生說出自己所列的方程，如2x－4＝20,或2x＝20＋4。這時就完全可以讓學生自己陳述解方程的過程了。教師應注意引導學生觀察解的過程中，發現它們“殊途同歸”，都能轉化為2x＝24。
    最后，可以引導學生總結列方程解決問題的步驟：
①弄清題意，找出未知數，用x表示；
②分析、找出數量之間的相等關系，列方程；
③解方程；
④檢驗，寫出答案。

2.關于練習十二中一些習題的說明和教學建議。
第1題，練習解形如ax±b=c方程。最后一小題4x－3×9＝29略有變化，一般學生能自己解決。對確感困惑的學生，可指導他們先算3×9。
第2～10題都是實際問題，其中第3、4、5、6、9、10題，雖然題材各異，但它們的數量關系都與例1類似，都是一個量比另一個量的幾倍多（少）幾，都是求作為比較標準（即看作“一倍”）的那個量。
這些問題，都可以讓學生獨立解答。練習后，教師應引導學生注意它們的共同點，并總結解決問題的經驗。
第6題，其中亞洲的面積（包括島嶼）約為4400萬平方千米。
第7題，題材與表現形式富有趣味。題目中提供了華氏溫度與攝氏溫度的關系，這個關系也可以說成華氏溫度比攝氏溫度的1?8倍還多32度。
練習時，可以讓學生自己代入關系式解答，再引導他們用幾倍多幾的語言表達兩種溫度之間的關系。
第2題與第8題的數量關系相類似，都是某一總數由兩部分組成，其中一部分為兩個數的積。
第11*題，可讓學有余力的學生選做�？梢赃@樣想：（36－4a）÷8是一個除法算式，當它的結果是0時，說明被除數是0，即36-4a＝0；當它的結果是1時，說明被除數與除數相等，即36-4a＝8。這樣的方程前面尚未出現過，可以利用加減法關系，推得4a＝36與4a＝36－8。
最后一題為思考題。容易看出，和的最高位是1、即t=1,代入原式，得

個位上a＋1＝1,說明a＝0。觀察十位與千位，v+s＝11,因此百位上v＝1＋1＋1=3,代入v+s＝11,得s＝8。

3.例2。

編寫意圖
    例2創設了購買兩種水果的現實問題情境。如果撇開各數量的具體內容，就它的數學意義來講，可抽象為兩積之和的數量關系。這種數量關系在生活中經常能遇到。而且，理解了兩積之和的數量關系，也就容易理解兩積之差、兩商之差的數量關系。在例2中組成兩積的四個因數，有兩個是相同的，這就可以根據分配律，得到含小括號的方程。這些都使例2具有舉一反三的典型意義。
    教材給出了兩種方程，其一為兩積之和等于已知的總數，讓學生自己解答。其二為含小括號的方程，介紹了把小括號內的式子看作一個整體求解的思路和方法，并留有空白讓學生自己解完。
教學建議
（1）教學例題前，可以先復習兩積之和的實際問題，如：
媽媽買了2 kg蘋果和3 kg梨，已知梨每千克2.8元，蘋果每千克2.4元，媽媽一共要付多少錢？讓學生獨立列式計算，并說出數量關系：
        蘋果的總價＋梨的總價＝總錢數
         2.4×2＋2.8×3＝13.2（元）
（2）教學例題時，可以先把復習題改為：媽媽買了2 kg蘋果和3 kg梨，共付13.2元錢，已知梨每千克2.8元，蘋果每千克多少錢？
    學生容易看出前后兩題的數量關系沒變，只是已知數和未知數交換了位置。因此，完全可以讓學生自己列出方程并解答。
        解：設蘋果每千克x元。
        2x＋2.8×3＝13.2
    然后，出示例2，即把梨的數量由3 kg改為2 kg，讓學生審題后，教師可提出問題：除了像上題那樣列方程之外，還可以怎樣列方程？有了上面的鋪墊，學生不難想到：
        （蘋果的單價＋梨的單價）×2＝總錢數
    并根據這個等量關系列出方程。
    接下去就可以引導學生把小括號內的2.8＋x看作一個整體，先求出2.8＋x＝？，剩下的解題過程可以讓學生在課本上完成。
（3）作為補充練習可以給出一個方程，如：（26＋x）×3＝150讓學生口頭編出具有現實意義的問題，在小組內交流。這樣的練習既有助于學生掌握數量關系，又能使學生初步體會這一數量關系廣泛的現實意義。

4.例3。

編寫意圖
例3的內容是關于地球表面海洋面積和陸地面積的計算。它的特點是問題含有兩個未知數，一般通常用兩個已知條件說明兩個未知數的關系。如給出兩個未知數的和與差，或給出兩個未知數的倍數關系與兩個未知數的和（或差）。
    具有這種數量關系的問題，在算術中稱為“和差”、“和倍”、“差倍”問題。若用算術方法解，思路特殊，需要分別教學。改用方程解，都可歸結為解形如ax±bx=c的方程，思路統一，解法一致，學會其中之一的解法，其他幾種就很容易類推解決。
    在實際生活中，也常常會遇到一些具有這種數量關系的問題。特別是當兩個數的倍數關系用分數、百分數表示時，這樣的問題就更常見了。
    像這樣含有兩個未知數的問題，在本單元之前，學生還沒接觸過。但它與學生以前學過的不少內容有關。比如，已知兩數，可以求出它們的和、差及倍數關系，這是小學低年級的小學內容。現在，從兩數的和、差及倍數關系中選取兩項作已知條件，反過來求兩數各是多少，這就是我們在這里討論的問題�？梢�，所謂的“和差”、“和倍”、“差倍”問題，實際上是已知兩數，求它們的逆思考問題。
    在小學中年級，曾出現過只有兩個已知條件，卻要兩步計算解決的實際問題。如，舞蹈隊有男生20人，女生人數是男生的2倍，舞蹈隊共有學生多少人？女生比男生多多少人？這類問題的特點是選取兩數之一作一個條件，再從兩數的和、差及倍數關系這三個量中選取一個為另一個條件，然后求三個量中的其他兩個量。不難看出，例3也是這類兩步計算問題的逆思考問題。
    解答例3，首先碰到的第一個問題是設未知數。學生已有的經驗是“求什么設什么”�，F在面臨一道題中要求兩個未知數各是多少，究竟設哪個為x，另一個又怎樣表示？這是必須突破的一個難點。就數學本身來說，和差倍關系的兩個未知數，任選一個設為x都是可行的。同樣，另一個未知數的表示方法也有兩種，即選用兩個已知條件中的任何一個都能表示。比較而言，在各種解法中，把作為比較標準的未知數設為x，則用含x的式子表示另一個未知數就比較容易。
    教材采用的就是這種方法。設陸地面積為x億平方千米，根據兩個量的倍數關系這個條件表示海洋面積，再根據另一個已知條件（兩部分面積的和即地球表面積），列出方程。
    這里第一次出現了形如ax±bx=c的方程�？紤]到學生的知識水平和接受能力，教材沒有出現合并同類項等術語，而是啟發學生運用乘法分配律，將原方程轉化為學生已會解的形式（a±b）x＝c。這與合并同類項的方法實質上是一致的。
    求出陸地面積后，接下去怎樣求海洋面積？有兩種選擇。即任選兩個已知條件中的任何一個都可以。教材以兩個同學互相交流的形式，對兩種算法都作了介紹。
教學建議
（1）教學例3前，可以采用口答形式進行一些寫出含有字母式子的填空練習。如：學校科技組有女同學x人，男同學是女同學的3倍，男同學有（  ）人，男女同學一共有（  ）人，男同學比女同學多（  ）人。還可以給出復習題：
地球上的陸地面積為1.5億平方千米，海洋面積約為陸地面積的2.4倍。地球的表面積是多少億平方千米？讓學生列式計算出地球表面積是5.1億平方千米，作為新授的鋪墊和過渡。
（2）教學例3時，可以先讓學生說出已知條件，并根據已知條件畫出線段圖（暫不標出“x” ）。再讓學生說出所求問題，明確要求的未知數有兩個。然后利用線段圖啟發學生思考，先設哪一個未知數為x，根據已知條件，另一個未知數該怎樣用含有字母的式子來表示。根據學生的回答在線段圖上標注x和2.4x。然后引導學生想：一個條件已經用來表示第二個未知數了，還可以根據哪個條件找出等量關系列方程？由此列出課本介紹的方程。然后將方程和復習題的算式進行對比：
        1.5＋1.5×2.4＝5.1
        x＋2.4x＝5.1
    幫助學生溝通新舊知識的聯系，進一步理解數量關系。
    如果學生提出不同的方法，可酌情加以比較，如：

    讓學生觀察這些方程，容易看出解方程都比較麻煩。如果學生求出陸地面積后，怎樣求海洋面積，有兩種方法。學生喜歡用哪一種都可以，不必強求一律。
（3）例3的檢驗，應予以重視。可以提出問題：除了代入方程檢驗之外，還有沒有其他的驗算方法？學生一般能夠想到，驗算兩個得數的和與商，看是否等于已知數。教師可以指出，在解決實際問題時，這樣驗算比先檢查方程，再把x的值代入方程檢驗，更有效，也更簡便。
（4）引導學生小結時，可以著重明確以下三點：第一，兩個未知數怎么辦？可以先選擇其中一個設為x，列方程解，再求另一個；第二，兩個已知條件怎么用？可以把其中一個用來寫出含有字母的式子，表示另一個未知數，另一個用來列方程；第三，怎樣驗算？可以通過列式計算，檢驗兩個得數的和及倍數關系是否符合已知條件。

5.關于練習十三中一些習題的說明和教學建議。
第1題，練習解含有小括號的方程。熟練之后，允許學生簡化解方程過程的書寫。如：

           x= 11.4               x=11.4

第2題，數量關系為兩積之和的實際問題。已知四張門票共11元。從插圖中可以看出，成人票、兒童票各2張。
第3題，數量關系為兩積之差的實際問題。如學生理解題意有困難（特別是農村學校），教師有必要作些說明。如水表有什么用處，收取的水費是怎樣計算出來的。還可以從已知的101室入手，先讓他們列式計算，101室第二季度的水費是不是80元。即
2.5×2788－2.5×2756＝2.5×（2788－2756）＝80（元）
然后再設102室上次讀數為x噸，并列出方程，這樣就不會感到困難了。
第4題的數量關系仍為兩積之和，但兩個積都含未知因數x，所以列出的方程形如ax±bx=c。把它作為例2與例3配套練習的過渡比較合適。
第5題，練習解形如ax±bx=c的方程。熟練以后，允許學生簡化解方程的書寫過程。如：

        解5.4x＋x＝12.8
        6.4x＝12.8
        x＝2

第6題，含兩個未知數，已知條件是兩數的和與差（兩個相鄰自然數的差是1），它與已知“和倍”、“差倍”關系的問題略有不同的是，設兩個數中的任何一個為x都可以，不存在解方程時簡便或麻煩的問題。
第7題，為雞兔同籠問題的變式。題中的隱蔽條件是雞有2條腿，兔有4條腿。由于雞兔數量相同，所以列出的方程形如ax+bx=c。
第8題，含兩個未知數，已知條件為兩數之差與倍數關系�？梢宰寣W生選用自己喜歡的方法，列出方程。
第9、10題都是兩積之和數量關系的實際問題，而且兩個積中都有相同的數，所以都能轉化為或直接列出含小括號的方程。區別只是第9題的相同因數是未知數，第10題的相同因數是已知數。
第11*、12*題為選做題。兩題難度都不大，一般學生都能解決。第11*題只要把□里填入的相同數設為x，就轉化為熟悉的方程24x－15x＝18。第12*題可先從方程的兩邊同時減去x，即得2x＝100。
    最后一題是思考題。設一共取了x次，也就是乒乓球、羽毛球都各取了x次。由于乒乓球、羽毛球的數量相等，得方程
        5x＝3x＋6
        解：x＝3。
    所以原來乒乓球有5×3＝15（個），羽毛球也有3×3＋6＝15（個）。