問：小數(shù)乘法和除法這兩個單元的內(nèi)容是如何安排的？
答：有關(guān)小數(shù)乘法和除法的教學(xué)內(nèi)容比較多，分兩個單元安排，能使每個單元的容量適中，內(nèi)容清楚，便于教師在教學(xué)時抓住重點，突出基礎(chǔ)知識。下面是這兩個單元的主要教學(xué)內(nèi)容。
這樣的安排，有利于學(xué)生充分利用已有的知識經(jīng)驗，循序漸進(jìn)地經(jīng)歷知識發(fā)展、形成的過程。下面是有關(guān)小數(shù)乘法和小數(shù)除法知識建構(gòu)的線索。
教材在兩個單元之間插入公頃和平方千米的教學(xué)，有利于學(xué)生及時應(yīng)用小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)等知識。如把以平方米為單位的數(shù)改寫成以公頃為單位的數(shù)，要把一個數(shù)除以10 000；把以平方千米為單位的數(shù)改寫成以公頃為單位的數(shù)，要把一個數(shù)乘100。另外，適時變換教學(xué)內(nèi)容，能避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能產(chǎn)生的厭倦情緒，形成良好的情感體驗。
根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》的具體目標(biāo)，這兩個單元精簡了有關(guān)循環(huán)小數(shù)知識的教學(xué)。在第七單元里不出現(xiàn)除不盡的除法，在第九單元里只結(jié)合小數(shù)除法中除不盡的實例，指出循環(huán)小數(shù)的特點，講述循環(huán)小數(shù)的概念。在“你知道嗎”里介紹有限小數(shù)與無限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)的表示方法等內(nèi)容，讓學(xué)生通過閱讀有所了解，不作為必須掌握的知識。
問：為什么在第七單元安排一個小數(shù)乘或除以10、100、1 000……這一內(nèi)容的教學(xué)？教學(xué)時要注意什么？
答：第七單元的例2教學(xué)一個小數(shù)乘10、100、1 000……例5教學(xué)一個小數(shù)除以10、100、1 000……學(xué)生掌握這些知識，就能更方便地進(jìn)行進(jìn)率是10、100、1 000……的計量單位的改寫。如把500千克改寫成以噸為單位的數(shù)，要把500除以千克與噸的進(jìn)率1 000，可以直接把500的小數(shù)點向左移動三位。更重要的是，小數(shù)點位置移動的這一規(guī)律是探索小數(shù)乘小數(shù)、小數(shù)除以小數(shù)計算方法必須具備的基礎(chǔ)知識。如把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，去掉乘數(shù)里的小數(shù)點是把乘數(shù)中的小數(shù)分別乘10、100、1 000……把整數(shù)乘法的積回歸到小數(shù)乘法的積，是把一個數(shù)除以10、100、1 000……再如，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，是把被除數(shù)和除數(shù)同時乘10、100或1 000……
例2和例5的教學(xué)都是研究幾個實例，從中找到具有普遍意義的規(guī)律。先用計算器計算5.04乘10、100、1 000以及21.5除以10、100、1 000的結(jié)果各是多少，初步感受小數(shù)點的位置變化；再任意找?guī)讉�小數(shù)分別乘（或除以）10、100、1 000，繼續(xù)觀察小數(shù)點位置的變化情況，從而得到一個數(shù)乘（或除以）10、100、1 000……只要把這個數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）移動一位、兩位、三位……的結(jié)論。這一過程體現(xiàn)了科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識態(tài)度，結(jié)論不僅代表一個實例的特征，更是許多同類實例的共同規(guī)律，兩道例題之后的“練一練”第2題，根據(jù)乘數(shù)或被除數(shù)的小數(shù)點的移動方向和位數(shù)，判斷另一個乘數(shù)或除數(shù)是幾，應(yīng)用結(jié)論開展逆向思考，能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握小數(shù)點位置移動的規(guī)律。
問：怎樣教學(xué)小數(shù)乘法？
答：小數(shù)乘法的計算方法分小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)兩種情況。
教材對小數(shù)乘整數(shù)這一內(nèi)容的編寫有一定的創(chuàng)造性。先通過夏天和冬天分別買3千克西瓜要多少元這個實際問題，引導(dǎo)學(xué)生列出算式0.8 × 3、2.35 × 3，體會這兩道乘法算式都是求3個相同小數(shù)相加的和；再根據(jù)3個0.8連加得2.4，3個2.35連加得7.05，分別在豎式的上寫出積，感受小數(shù)乘整數(shù)可以像整數(shù)乘法那樣進(jìn)行筆算；然后在“試一試”里用計算器計算三道小數(shù)與整數(shù)相乘的算式，觀察積的小數(shù)位數(shù)與因數(shù)的小數(shù)位數(shù)，初步知道因數(shù)里有幾位小數(shù)，積里也有幾位小數(shù)。這樣，學(xué)生就能逐步理解小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘法的聯(lián)系與區(qū)別，初步學(xué)會應(yīng)用整數(shù)乘法的經(jīng)驗計算小數(shù)乘法。在小組里說說小數(shù)和整數(shù)相乘應(yīng)該怎樣計算，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了回顧與交流的機(jī)會，有助于進(jìn)一步清晰地認(rèn)識算法。
教學(xué)小數(shù)乘小數(shù)的時候，學(xué)生已經(jīng)有小數(shù)乘整數(shù)的經(jīng)驗，會主動把乘數(shù)都看作整數(shù)，教學(xué)的重點是找準(zhǔn)積里小數(shù)點的位置。第86頁例1提出“把兩個小數(shù)都看成整數(shù)，相乘后怎樣才能得到原來的積”這個問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用積的變化規(guī)律和小數(shù)點位置移動的規(guī)律，在豎式上進(jìn)行推理。聯(lián)系四年級（下冊）里的知識，乘法算式的一個因數(shù)乘10，另一個因數(shù)也乘10，得到的積等于原來的積乘100，理解從36 × 18的積1 008得出3.6 × 1.8的積，應(yīng)該把1 008除以100，也就是把1 008的小數(shù)點向左移動兩位。“試一試”讓學(xué)生再次經(jīng)歷轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，以及從整數(shù)乘法的積得到小數(shù)乘法的積的過程，著重體驗兩個因數(shù)一共有的小數(shù)位數(shù)與積里小數(shù)位數(shù)間的因果關(guān)系，并自己總結(jié)小數(shù)乘法的計算方法。這時的計算方法既應(yīng)用于小數(shù)乘小數(shù)的計算，也統(tǒng)攝了小數(shù)乘整數(shù)的計算。
問：怎樣教學(xué)小數(shù)除法？
答：小數(shù)除法的計算分除數(shù)是整數(shù)的除法和除數(shù)是小數(shù)的除法兩段。
第72頁的例題依次教學(xué)三點知識：商里小數(shù)點的位置，在最后余下的數(shù)的右邊添0繼續(xù)除，商不滿1要在個位上寫0。教學(xué)第一點知識，把9.6元看成 96角或9元6角，得到每千克蘋果的價錢32角或3元2角，寫成小數(shù)是3.2元，體會商的小數(shù)點應(yīng)該與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。教材給被除數(shù)與商的小數(shù)點都套紅色并圈起來，引起學(xué)生的注意。教學(xué)第二點知識，在余下的2的右邊添0，讓學(xué)生思考“表示20個幾分之一”，回憶小數(shù)的基本性質(zhì)，體會添這個0是合理的，添0就能繼續(xù)往下除。教學(xué)要及時在商里點出小數(shù)點，使20個十分之一除以5的商有適當(dāng)?shù)奈恢每蓪憽Ｒ院笥嬎愠〞r，如果遇到最后有余下的數(shù)，都可以在它的右邊添0繼續(xù)除。教學(xué)第三點知識，要突出“個位不夠商1，怎么辦”這一問題，讓學(xué)生聯(lián)系“不夠商1可以商0”的經(jīng)驗，主動在個位上寫0，并體會如果不寫這個0，商就缺少整數(shù)部分，不是一個完整的小數(shù)。上面三點知識逐一教學(xué)以后，要求學(xué)生說說小數(shù)除以整數(shù)的計算方法，初步形成計算法則。練習(xí)十三第11題設(shè)計了兩個題組，都是綜合應(yīng)用例題教學(xué)的計算知識。左邊的題組里被除數(shù)的小數(shù)點位置不同，商里小數(shù)點的位置也隨之不同，突出商的小數(shù)點應(yīng)該與被除數(shù)的小數(shù)點對齊；右邊的題組突出及時在商里點上小數(shù)點，以及個位不夠商1要商0。
第93頁和第95頁的例題教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法。教材突出了將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，利用已有經(jīng)驗進(jìn)行計算的策略。同時強(qiáng)調(diào)，被除數(shù)和除數(shù)必須乘相同的數(shù)，也就是被除數(shù)的小數(shù)點要隨除數(shù)的小數(shù)點，向右移動相同的位數(shù)，保持商不變。如果被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少，要在被除數(shù)的末尾用0補(bǔ)足。計算除數(shù)是小數(shù)的除法，關(guān)鍵是讓被除數(shù)隨著除數(shù)進(jìn)行相同的變化，練習(xí)十八第1題設(shè)計了這方面的專項練習(xí)，其中有被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)和除數(shù)的小數(shù)位數(shù)同樣多的情況，也有被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多或少的情況。
問：為什么讓學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法的運算律？
答：第一次教學(xué)乘法運算律是在四年級，那時只在整數(shù)范圍內(nèi)認(rèn)識和使用乘法的交換律、結(jié)合律和分配律。在小數(shù)乘法里是否仍然存在這些運算律，需要驗證和確認(rèn)，這是數(shù)域擴(kuò)展必須研究的一個內(nèi)容。因此，在教學(xué)小數(shù)乘法的計算法則之后，教材編排了一道例題教學(xué)運算律及其應(yīng)用的問題。
有人會問：整數(shù)混合運算的運算順序可以直接應(yīng)用于小數(shù)混合運算，為什么整數(shù)的運算律不能直接遷移應(yīng)用呢？這是由于兩個知識的性質(zhì)不同。運算順序是人們在計算時約定共同遵守的規(guī)則，因而可以規(guī)定運算順序既適用于整數(shù)，也適用于小數(shù)。運算律則是數(shù)學(xué)運算的內(nèi)在規(guī)律，不是人們主觀規(guī)定的。因而小數(shù)乘法是否存在運算律，需要通過對實例的研究，發(fā)現(xiàn)并得出結(jié)論。
第90頁例4里有三組算式，先算出同組兩道算式的得數(shù)相同，用等號連接兩道算式。然后分別觀察三組等式，發(fā)現(xiàn)兩個小數(shù)相乘，可以調(diào)換乘數(shù)的位置；三個小數(shù)連乘，可以先把前面的兩個小數(shù)相乘，再與第三個小數(shù)相乘，也可以先把后面的兩個小數(shù)相乘，再與第一個小數(shù)相乘；兩個小數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加。從而得出整數(shù)乘法的運算律對小數(shù)乘法同樣適用的結(jié)論，實現(xiàn)運算律適用數(shù)域的擴(kuò)展。教學(xué)例4要注意兩點：一是圓圈里的等號必須在計算之后，確認(rèn)左右兩式的得數(shù)相同后填寫，絕不能未經(jīng)計算就寫等號。如果不計算就寫等號，例題的教學(xué)就不是發(fā)現(xiàn)運算律同樣適用，變成應(yīng)用運算律改寫算式了，這就在認(rèn)知程序上發(fā)生了邏輯錯誤。二是讓學(xué)生指著三組等式逐一說說各表示什么運算律以及各條運算律的具體內(nèi)容，使運算律的內(nèi)涵更加清楚。在證實小數(shù)乘法同樣存在運算律之后，就可以把應(yīng)用整數(shù)乘法運算律進(jìn)行簡便計算的經(jīng)驗遷移到小數(shù)乘法中來。
問：為什么研究積與因數(shù)、商與被除數(shù)的大小關(guān)系？
答：研究積與因數(shù)的大小關(guān)系有兩點作用：一是改變原來的乘法觀念，發(fā)展乘法的意義。整數(shù)乘法的積一般總是大于因數(shù)（因數(shù)是0或1除外）。小數(shù)乘法里，有時積大于因數(shù)，有時積小于因數(shù)，這是另一個因數(shù)大于1或小于1造成的。這就滲透了一個數(shù)乘大于1的數(shù)，是求這個數(shù)的幾倍；一個數(shù)乘小于1的數(shù)，是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾。這些認(rèn)識完善了乘法的意義，在以后教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法時會得到進(jìn)一步理解。二是可以用于估計筆算的結(jié)果是否合理。第11題在計算前先根據(jù)第二個因數(shù)的情況，說出積大于還是小于第一個因數(shù)，這是估計。盡管這樣的估計與精確計算的誤差相當(dāng)大，但畢竟清楚了積的范圍。一旦筆算的結(jié)果超出這個范圍，就能及時發(fā)現(xiàn)和改正錯誤。
同樣，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)商與被除數(shù)的大小關(guān)系，對進(jìn)一步認(rèn)識除法的意義、估計除法的商以及監(jiān)控筆算得數(shù)的合理性都有積極的意義。
第103頁第7題在積與因數(shù)、商與被除數(shù)的大小關(guān)系的基礎(chǔ)上編排，包含了豐富的教學(xué)內(nèi)容。如5.4 × 0.1和5.4 ÷ 10的得數(shù)都是0.54，可以看成是求5.4的十分之一是多少；4.8 ÷ 0.1和4.8 × 10的得數(shù)都是48，可以看成是求4.8的10倍是多少。又如2.6 × 0.5與2.6 ÷ 2的得數(shù)相同，2.6 ÷ 2的計算比2.6 × 0.5簡便；1.5 ÷ 0.25與1.5 × 4的得數(shù)相同，1.5 × 4的計算比1.5 ÷ 0.25簡便……學(xué)生通過計算、比較和思考，能夠有許多體會。教學(xué)要注意的是，這些內(nèi)容不應(yīng)是教師告訴學(xué)生的，也不需教師講得清清楚楚，只要求學(xué)生有所感受或聯(lián)想，使不同的學(xué)生有不同的收獲。
