第五講 自然數列趣題

　　本講的習題，大都是關于自然數列方面的計數問題，解題的思維方法一般是運用枚舉法及分類統計方法，望同學們能很好地掌握它.

　　例1 小明從1寫到100，他共寫了多少個數字“1”？

　　解：分類計算：

　　“1”出現在個位上的數有：

　　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10個；

　　“1”出現在十位上的數有：

　　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10個；

　　“1”出現在百位上的數有：100共1個；

　　共計10+10+1=21個.

　　例2 一本小人書共100頁，排版時一個鉛字只能排一位數字，請你算一下，排這本書的頁碼共用了多少個鉛字？

　　解：分類計算：

　　從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1×9=9（個）；

　　從第10頁到第99頁，共90頁，每頁用2個鉛字，共用2×90=180（個）；

　　第100頁，只1頁共用3個鉛字，所以排100頁書的頁碼共用鉛字的總數是：

　　9+180+3=192（個）.

　　解：（見圖5—1）先按題要求，把1到100的一百個自然數全部寫出來，再分類進行計算：

　　如圖5—1所示，寬豎條帶中都是個位數字，共有10條，數字之和是：

　�。�1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10

　　=45×10

　　=450.

　　窄豎條帶中，每條都包含有一種十位數字，共有9條，數字之和是：

　　1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10

　　+8×10+9×10

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10

　　=45×10

　　＝450.

　　另外100這個數的數字和是1+0+0=1.

　　所以，這一百個自然數的數字總和是：

　　450+450+1=901.

　　順便提請同學們注意的是：一道數學題的解法往往不只一種，誰能尋找并發現出更簡潔的解法來，往往標志著誰有更強的數學能力.比如說這道題就還有更簡潔的解法，試試看，你能不能找出來？