把10枚硬幣排成一直線，如圖所示。每次移動(dòng)時(shí)，拿起一枚硬幣，讓它跳過(guò)兩枚硬幣后落在另一枚硬幣上。請(qǐng)證明只要移動(dòng)5次，就可以把這些硬幣兩兩疊成一摞，排成5摞，而且彼此距離相等。這個(gè)游戲并不像看起來(lái)那么容易！
如果硬幣在跳過(guò)兩枚硬幣之后，可以落在空位或是落在另一枚硬幣上，那么請(qǐng)找出由多少硬幣排成直線時(shí)，可以兩兩疊成一摞(每一摞硬幣之間的距離不必相等)？最少要移動(dòng)幾次？
解答與分析
將7放在10上，5放在2上，3放在8上，1放在4上，9放在6上。因?yàn)榈阶詈笥矌攀莾蓛上喁B，因此硬幣數(shù)一定是偶數(shù)。兩枚硬幣的情形與題目條件不合，至于其他偶數(shù)枚硬幣的情形可以用下列方法解答。
4枚硬幣
有4枚硬幣時(shí)，有一步必定要跳到空位上，因此最少需要移動(dòng)3次。
6枚硬幣
經(jīng)過(guò)試驗(yàn)之后可以發(fā)現(xiàn)，如果不跳到空位上一次，將無(wú)法得到答案。同時(shí)，移動(dòng)一次之后，問(wèn)題就簡(jiǎn)化成4枚硬幣排成一直線的情況，因此總共需要移動(dòng)4次。
8枚硬幣
有8枚硬幣時(shí)，可用以下圖示的方法，移動(dòng)4次，使8枚硬幣配對(duì)完成。在此過(guò)程中并沒(méi)有出現(xiàn)任何一個(gè)移動(dòng)硬幣到空位上的步驟。
2n枚硬幣(n≥4)
在n≥4的情形下，2n枚硬幣可以在n次移動(dòng)之后，成為n疊兩枚一摞的硬幣。這個(gè)結(jié)論可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。下面用14枚硬幣的例子，說(shuō)明如何得到這個(gè)結(jié)論。
首先將11移到14，然后9移到13，7移到12，這樣在這排硬幣的末端就會(huì)形成3疊兩枚一摞的硬幣，前面留下一排8枚單獨(dú)的硬幣，而這個(gè)部分又可以用前面的方法得到答案。這是介紹歸納法很好的例子，可以輕易地轉(zhuǎn)變成正式的數(shù)學(xué)證明題。
