在證明某數(shù)是否為質(zhì)數(shù)時，最基本的問題就是：確定某數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的唯一方法，就是找出其因數(shù)．長久以來，人們一直想找出表示質(zhì)數(shù)的“公式”，但都徒勞無功．下面介紹一些前人努力的結(jié)果．

　　(1)考慮下列的質(zhì)數(shù)序列及其差分：

　　只要繼續(xù)生成質(zhì)數(shù)，此序列就能持續(xù)下去．

　　差分的形式顯示出此序列可以下列二次式導出：

　　n²+n+11

　　(2)以不同的n代入，求下列二次式的值：

　　n²+n+41

　　并檢驗得出的值是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)(除1與其本身之外還有其他因數(shù))．

　　這是一個相當了不起的公式，因為從1至80，除了7個數(shù)之外，其他由它所生成的數(shù)都是質(zhì)數(shù)．請問使n²+n+41不為質(zhì)數(shù)的第一個n值是多少？

　　(3)更好的公式為：

　　n²-79n+1601

　　因為它對于所有小于或等于80的整數(shù)都能生成質(zhì)數(shù)．

　　(4)使下式不為質(zhì)數(shù)的最小n值是多少？

　　2n²+29

　　(5)1640年，數(shù)學家費瑪(Fermat)以為自己發(fā)現(xiàn)了可以生成質(zhì)數(shù)的公式：

　　2²ⁿ+1

　　試求當n=0，1，2，3，4時，由此公式所得出的數(shù)．有些數(shù)為質(zhì)數(shù)．

　　之后經(jīng)過了一百多年，才由數(shù)學家歐拉證明：2²⁵+1有兩個因數(shù)：641與6700417．