電視里的大眾娛樂節目，例如家庭卡拉OK歌唱大獎賽、快樂大轉盤等，常有觀眾全家參加的，一家一家的出場比賽，一家一家的登臺領獎，場上的人家玩得高興，場下的人家看得開心。
在下面的分數求和問題里，進入和式的分數也是一家一家的登場： 式子長了些，先看看有沒有規律可循。
這里面的分數，分母相同的連在一起，一組一組的。它們都是全家齊上場：以2為分母的真分數，只有一個，自成一家；以3為分母、4為分母和5為分母的真分數，分別組成兩口之家、三口之家和四口之家。
有數了，不忙，一家一家的來。先分別求出每一家的和，再求各家的總和。
以2為分母的分數只有1個，和是
以3為分母的有2個，和是
以4為分母的分數有3個，和是
以5為分母的分數有4個，和是
這樣就得到，所有分數的總和是 
上面這道求和問題，參加的分數家庭只有4個，規模不大，不過已經看出一個簡便方法：在每個分數家庭里，把最大的與最小的搭配成一對，其和為1，放到一旁；再把剩下來最大的和最小的搭配成一對，其和為1，再放到一旁；如此繼續。直到最后，如果這一家的分數個數逢雙，那么恰好全部搭配成對；如果這一家的分數個數逢單，那么剩下正
這樣也就發現一個規律：每一個分數家庭里，全部真分數的和，恰好等于它們個數的一半。
由此推出，在這類全家出動的真分數求和問題中，只要數一數有多少個分數參加，拿它們的總個數除以2，就得到所求的和。
通過試點摸索到規律，就可以推廣了。這次多邀請些分數家庭參加，把分母的范圍擴大為從2到50，求下面的和：
根據剛才的經驗，我們先來數一數，這里總共多少個分數。
應邀參與求和的分數家庭，分母從2到50，共計49家，每家出場分數的個數從1到49，總數是
1+2＋3＋…＋47十48＋49
=［(1＋2＋…＋48＋49)＋(49＋48＋…＋2＋1)］÷2
=［(1＋49)+(2＋48)+…＋(48＋2)＋(49＋1)］÷2
= 49×50÷2
= 1225。
再拿總個數除以2，就得到
