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類比是很重要的數學思想方法

來源:數學專業網 2008-02-19 10:21:50

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  把一個立方體切成27個相等的小立方體,如果在切的過程中不允許調整,很顯然,要6刀才能切成,現在的問題是,如果允許在切的過程中調整,即第一刀切完后,如果你愿意的話,切成的兩部分可以重疊到一起后再切第二刀,在切第三刀之前,也可以把前兩刀切出的部分任意重疊,如此類推.請問,按這樣的切法,是否可以用少于6刀切出27個相等的小立方體?
  分析這個問題并不容易,一是三維空間對人的想象力要求比較高,二是各種切法情況比較復雜,難于一一分析.
  我們不妨用類比的方法,先考慮一個二維情況下的類似問題:把一個正方形分成9個大小一樣的小正方形,如果的切的時候不能調整,容易知道,要四刀.現在的問題是,如果可以調整,可以將切出的部分重疊后再切,可以少于四刀嗎?
  您去試一試就知道,這個問題還是不容易解決!
  一不做,二不休,考慮一維情況下類似的題目:把一條直線平均分成三段,不能調整的話,兩刀?如果能調整呢?情況如何?你很快可以發現,還是要兩刀!怎么說明這個問題?您很快會找到中間那段,這段有兩個端點,每個端點處總是要切一下的!
  返回去想切正方形的事!也看中間那個正方形.它有四條邊,不論你怎么切,每一刀總只能切一條邊!于是4刀是最少的!
  于看三維的情況:也考慮最中間的正方體.它有六個面,不論你怎么切,每刀最多切出一個面來.那么最少要六刀!
  問題就這樣解決了!
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