近代數學如參天大樹，已是分支眾多，枝繁葉茂。在這棵蒼勁的大樹上懸掛著不勝其數的數學難題。其中最耀眼奪目的是四色地圖問題、費爾馬大定理和哥德巴赫猜想。它們被稱為近代三大數學難題。

　　300多年以來，費爾馬大定理使世界上許多著名數學家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費爾馬大定理神秘的面紗終于在1995年揭開，被43歲的英國數學家維爾斯一舉證明。這被認為是“20世紀最重大的數學成就”。

    費爾馬大定理的由來

　　故事涉及到兩位相隔1400年的數學家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國的費爾馬。丟番圖活動于公元250年前后。

　　1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中關于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何一個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何一個數的四次方，不能分成兩個數的四次方之和，一般來說，不可能將一個高于二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下。”

　　費爾馬去世后，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。后來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，當n大于2時沒有正整數解。

　　費爾馬是一位業余數學愛好者，被譽為“業余數學家之王”。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時期是在家里受的教育。長大以后，父親送他在大學學法律，畢業后當了一名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。

　　他酷愛數學，把自己所有的業余時間都用于研究數學和物理。由于他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身于17世紀大數學家之列。

    艱難的探索

　　起初，數學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有正整數解。

　　因為任何一個大于2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素數時，方程都沒有正整數解，費爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等于奇素數的情形了。

　　在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個一個奇素數證下去的長征便開始了。

　　其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數的方法，引入了自己發明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費爾馬大定理只可能在n等于某些叫非正則素數的值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程x^n+y^n=z^n是不可能有正整數解的。這就把費爾馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。

　　這一“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等于定理被證明。看來，需要另辟蹊徑。

    10萬馬克獎給誰

　　從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先后兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。

　　哥庭根科學會宣布，獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。

　　10萬馬克在當時是一筆很大的財富，而費爾馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。于是，不僅專搞數學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鉆研這個問題。在很短時間內，各種刊物公布的證明就有上千個之多。

　　當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜志，自愿對這方面的論文進行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個“證明”，全都是錯的。后來實在受不了沉重的審稿負擔，于是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶涌澎湃，雖然兩次世界大戰后德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成后來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續從事這一工作。

    姍姍來遲的證明

　　經過前人的努力，證明費爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎么辦？來必須要用一種新的方法，有的數學家用起了傳統的辦法――轉化問題。

　　人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯系起來，成為一種代數幾何學的轉化，而費爾馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼的工作基礎上，1922年，英國數學家莫德爾提出一個重要的猜想。：“設F（x，y）是兩個變數x、y的有理系數多項式，那么當曲線F（x，y）= 0的虧格（一種與曲線有關的量）大于1時，方程F（x，y）＝0至多只有有限組有理數”。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯沙法拉維奇在代數幾何上的一系列結果證明了莫德爾猜想。這是費爾馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。

　　維爾斯仍采用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯系起來，并且吸取了走過這條道路的攻克者的經驗教訓，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果谷山――志村猜想成立，那么費爾馬大定理一定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家谷山――志村于1955年關于橢圓函數的一個猜想時發現的。

　　維爾斯出生于英國牛津一個神學家庭，從小對費爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導致他進入了數學的殿堂。大學畢業以后，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點風聲。

　　窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告人維爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發言。10點30分，在他結束報告時，他平靜地宣布：“因此，我證明了費爾馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鐘后，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優雅的紳士風度，忘情地歡騰著。

　　消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，并稱之為“世紀性的成就”。人們認為，維爾斯最終證明了費爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。

　　可不久，傳媒又迅速地報出了一個“爆炸性”新聞：維爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發現證明有漏洞。

　　維爾斯在挫折面前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜志于1995年5月發表了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。

　　經過 300多年的不斷奮戰，數學家們世代的努力，圍繞費爾馬大定理作出了許多重大的發現，并促進了一些數學分支的發展，尤其是代數數論的進展。現代代數數論中的核心概念“理想數”，正是為了解決費爾馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱贊費爾馬大定理是“一只會下金蛋的母雞”。

    注：x^2表示x的平方。