A的速度為30千米／小時(shí)，B的速度為20千米／小時(shí)，A和B同時(shí)從甲地出發(fā)到乙地，他們先后到乙地后又返回甲地……如此往復(fù)來(lái)回運(yùn)動(dòng)。已知A與B第二次迎面相遇與A第二次追上B的兩點(diǎn)相距45千米，甲乙兩地相距多少千米？
A與B在甲、乙兩地來(lái)回運(yùn)動(dòng)，我們?cè)噲D把它的行蹤直觀地展示出來(lái)，但運(yùn)動(dòng)是往復(fù)進(jìn)行的。就有后面的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)前面運(yùn)動(dòng)軌跡的“掩蓋”。由此，我們引入時(shí)間維度，從而拉伸A和B的運(yùn)動(dòng)軌跡，使其每一個(gè)全程運(yùn)動(dòng)軌跡不重復(fù)前次空間地呈現(xiàn)在我們眼前，這類似于物理學(xué)里的“擺”，在運(yùn)動(dòng)中的擺里裝上細(xì)沙，其下置一長(zhǎng)方形木板作勻速拉伸，這樣擺的來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)就留下了它自己的“足跡”。見(jiàn)圖1。
此題中，我們?cè)O(shè)想有兩擺互不影響地同時(shí)擺動(dòng)，擺長(zhǎng)不一樣，速度也不一樣，作出其軌跡，如圖2。
A為“――”B為“……”，A速30千米／小時(shí)，B速20千米／小時(shí)，上方為甲地，下方為乙地。按時(shí)間維度的坐標(biāo)作出它們各自的運(yùn)動(dòng)軌跡。由于甲乙相距一定。VA∶VB=30∶20，所以行一個(gè)全程，A用的時(shí)間tA與B用的時(shí)間tB之間tA∶tB=2∶3，A行完6個(gè)全程時(shí)，B剛好行完4個(gè)全程，時(shí)間一定時(shí)，他們的行程比是3∶2。
由圖2可觀察到，A與B第一次迎面相遇在M點(diǎn)，第二次迎面相遇在N點(diǎn)。其中我們只須考察N點(diǎn)，由圖2知，A與B第一次追上相遇（A與B同向同時(shí)達(dá)到一點(diǎn)）在H點(diǎn)。實(shí)際上2與3的最小公倍數(shù)是6，故在6小時(shí)處相遇（同向），可以推想，在第12時(shí)時(shí)，A和B又一次同向相遇，且相遇點(diǎn)類似地在甲地（H′點(diǎn)）。在圖上則相差一個(gè)周期，必須指出的是H、H′，其實(shí)就是指甲地，它們并無(wú)空間上的位移，于是我們把它“移”到H0點(diǎn)，則NH0=45千米。
我們觀察N點(diǎn)，也就是AB第二次迎面相遇的這一時(shí)刻，此時(shí)，由圖2可知，A已行了2個(gè)全程還多，B則行了1個(gè)全程多。相遇時(shí)，他們合計(jì)共行了4個(gè)全程。在一定的時(shí)間內(nèi)，A、B共行了4個(gè)全程。他們的貢獻(xiàn)與其
前述H0即為題目所述第二次、第三次……追上相遇的地點(diǎn)，故NH0=
答：（第二）全程長(zhǎng)112.5千米。
需要指出的是，本題借助波形圖解題，所畫曲線與波所描述的物體的擺動(dòng)并不一致，我們只取其形式，展示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，其實(shí)我們假設(shè)A、B均是勻速運(yùn)動(dòng)的。與擺的運(yùn)動(dòng)完全不同，所以，不能套用物理學(xué)里的一些關(guān)于位移的公式。本題是取其形式，舍其實(shí)質(zhì)，運(yùn)用其思想，幫助數(shù)學(xué)解題，其鍛煉思維能力的作用也是顯而易見(jiàn)的。
