十一、不定方程（一）
年級(jí) 班 姓名 得分
一、填空題
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然數(shù),那么□= .
2.數(shù)學(xué)測(cè)試卷有20道題.做對(duì)一道得7分;做錯(cuò)一道扣4分;不答得0分.張紅得了100分,她有 道題沒(méi)答.
3.x是自然數(shù), ,字母a表示一個(gè)數(shù)字,x是 .
4.不定方程 的整數(shù)解是 .
5.某青年1997年的年齡等于出生年份各數(shù)字的和,那么,他的出生年份是 .
6.如果在分?jǐn)?shù) 的分子分母上分別加上自然數(shù)a、b,所得結(jié)果是 ,那么a+b的最小值等于 .
7.40只腳的蜈蚣與3個(gè)頭的龍同在一個(gè)籠子中,共有26個(gè)頭和298只腳,若40只腳的蜈蚣有1個(gè)頭,那么3個(gè)頭的龍有 只腳.
8.甲、乙兩個(gè)小隊(duì)的同學(xué)去植樹(shù).甲小隊(duì)一人植樹(shù)6棵,其余每人都植樹(shù)13棵;乙小隊(duì)有一人植樹(shù)5棵,其余每人都植樹(shù)10棵.已知兩小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)相等,且每小時(shí)植樹(shù)的棵數(shù)大于100而不超過(guò)200,那么甲、乙兩小隊(duì)共有 人.
9.小明用5天時(shí)間看完了一本200頁(yè)的故事書(shū).已知第二天看的頁(yè)數(shù)比第一天多,第三天看的頁(yè)數(shù)是第一、二兩天看的頁(yè)數(shù)之和,第四天看的頁(yè)數(shù)是第二、三兩天看的頁(yè)數(shù)之和,第五天看的頁(yè)數(shù)是第三、四兩天看的頁(yè)數(shù)之和.那么,小明第五天至少看了
頁(yè).
10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的時(shí)候,一個(gè)大猴子一小時(shí)可采摘15公斤,一個(gè)小猴子一小時(shí)可采11公斤;猴王在場(chǎng)監(jiān)督的時(shí)候,大猴子的 和小猴子的 必須停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小時(shí),其中只有第一小時(shí)和最后一小時(shí)有猴王在場(chǎng)監(jiān)督,結(jié)果共采摘3382公斤水密桃,那么在這個(gè)猴群中,大猴子共有 個(gè).
二、解答題
11.今有公雞每只五個(gè)錢(qián),母雞每只三個(gè)錢(qián),小雞每個(gè)錢(qián)三只.用100個(gè)錢(qián)買(mǎi)100只雞,問(wèn)公雞、母雞、小雞各買(mǎi)了多少只?
12.某地收取電費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是:每月用電不超過(guò)50度,每度收5角;如果超過(guò)50度,超出部分按每度8角收費(fèi).某月甲用戶比乙用戶多交3元3角電費(fèi),這個(gè)月甲、乙各用了多少度電?
13.哲洙替爸爸買(mǎi)了50張圣誕節(jié)卡片.他先到“甲”文具店去買(mǎi)了幾張每張500分錢(qián)的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去買(mǎi)了.“乙”文具店的一張卡價(jià)格是以每百分為單位,且小于2000分.哲洙買(mǎi)了50張卡片共花了30400分.請(qǐng)你寫(xiě)出他在“乙”文具店買(mǎi)的卡片數(shù)量的所有可能情形.
14.現(xiàn)有兩小堆小石頭,如果從第一堆中取出100塊放進(jìn)第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果從第二堆中取出一些放進(jìn)第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.問(wèn)第一堆中可能的最少石頭塊數(shù)等于多少?并在這種情況下求出第二堆的石頭塊數(shù).
———————————————答 案——————————————————————
1. 1998.
提示: △是小于4的奇數(shù),檢驗(yàn)△=1或3兩種情況即可.
2. 1.
設(shè)張紅做對(duì)x道題,做錯(cuò)y道題,依題意得:
①
所以 ≥ .
又 x+y≤20 ②
所以 x≤20-y≤20,
故 ≤x≤20.
又4|4 y,4|100,由①知4|7 x,又4與7互質(zhì),所以4| x,故 x=16或20.
當(dāng)x=20時(shí),由①得y=10,與②產(chǎn)生矛盾.
因此x=16,代入①得y=3.張紅共有20-x-y=1(道)題沒(méi)做.
3. 750.
根據(jù)題意, ,整理得,
.
因?yàn)?/span>x為自然數(shù),37是質(zhì)數(shù),所以4a+1一定能被37整除,
推知a=9,因此 .
4. 沒(méi)有整數(shù)解.
若方程有整數(shù)解,則 , ,因此 ,且3|17,產(chǎn)生矛盾,因此原方程沒(méi)有整數(shù)解.
5. 1975.
設(shè)他出生年份為 ,依題意,得:
整理得:
所以
由0≤b≤9得 ≤ ≤ ,即 ≤a≤ .
故a=7,從而b=5,他出生于1975年.
6. 24.
依題意,有 ,
于是可得12(28+a)=7(43+b)
即 12a+35=7b ①
顯然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.
由①知, b隨a增大而增大,所以a取最小值7時(shí), b也取最小值,是17.
所以, a+b的最小值是7+17=24.
7. 14.
設(shè)有x只蜈蚣,y只三頭龍,每只三頭龍有n只腳,依題意得方程組:
①×40-②,得 ,即
③
由于x和y都是正整數(shù),從①式得y≤8.又因?yàn)?span lang="EN-US"> ,
所以從③式得y=7, ,由此得n=14.
8. 32.
設(shè)甲小隊(duì)有x人,乙小隊(duì)有y人.由兩小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)相等,得到
13 x-7=10 y-5.
因?yàn)樯鲜接叶藗�(gè)位數(shù)為5,所以13x的個(gè)位數(shù)應(yīng)是2,得到x=4, y=5是上式的一組解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.
為使10y-5在100與200之間,只有y =5+13=18,所以乙小隊(duì)有18人,甲小隊(duì)有4+10=14(人),共有18+14=32(人).
9. 84.
設(shè)小明第一天看了a頁(yè),第二天看了b頁(yè),則前五天看的頁(yè)數(shù)依次為:
a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.
上面各個(gè)數(shù)的和是200,得到
5a+7b=200.
因?yàn)?st1:chmetcnv w:st="on" tcsc="0" numbertype="1" negative="False" hasspace="False" sourcevalue="5" unitname="a">5a與200都是5的倍數(shù),所以b是5的倍數(shù).因?yàn)?/span>b>a,所以上式只有兩組解:
b=20, a=12; b=25, a=5.
將這兩組解分別代入2a+3b,得到第五天至少看了84頁(yè).
10. 15.
以5只大猴子為一組,根據(jù)題意,一組大猴子這天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子為一組,這天可采摘11×38(千克).設(shè)有大猴子x組,小猴子y組,則有
,
.
易知其整數(shù)解為x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).
11. 設(shè)公雞、母雞、小雞各買(mǎi)x, y, z只,由題意列方程組:
3×①-②整理得 .
又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.
又 ≤ .
所以x=4,8或12.
x=4時(shí),y=18, z=78; x=8時(shí),y=11,z=81; x=12時(shí),y=4,z=84.
即可能有三種情況:4只公雞,18只母雞,78只小雞;或8只公雞,11只母雞,81只小雞;12只公雞,4只母雞,84只小雞.
12. 因?yàn)?span lang="EN-US">33既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù),所以甲用電超過(guò)50度,乙用電不足50度.設(shè)甲用電(50+x)度,乙用電(50- y)度.因?yàn)榧妆纫叶嘟?span lang="EN-US">33角電費(fèi),所以有:
8x+5y=33.
容易看出x=1時(shí),y=5.推知甲用電51度,乙用電45度.
13. 設(shè)哲洙在乙文具店買(mǎi)了x張卡片,花了 100分.由共花錢(qián)數(shù)可列方程
整理得
因?yàn)?/span>x是小于50的54的約數(shù),則x與y的關(guān)系如下表:
|
x
|
1
|
2
|
3
|
6
|
9
|
18
|
27
|
|
y-5
|
54
|
27
|
18
|
9
|
6
|
3
|
2
|
因?yàn)橐椅木叩暌粡埧ㄆ膬r(jià)格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.
14. 設(shè)第一堆有x塊石頭,第二堆有y塊石頭,并設(shè)z為從第二堆取出放進(jìn)第一堆的塊數(shù),由題意:
由①得 .
代入②整理得 .
所以 .
又x,z自然數(shù),所以11|z+1,
當(dāng)z=10時(shí), x有最小值,此時(shí)x=170,y=40,即第一堆中最少有170塊.在這種情況下,第二堆40塊.
