前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此時(shí)，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。

　　一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

　　當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。

　　當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1 一個(gè)兩位數(shù)去除251，得到的余數(shù)是41.求這個(gè)兩位數(shù)。

分析 這是一道帶余除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù).解題可從帶余除式入手分析。

　　解：∵被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)，

　　即被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，

　　∴251=除數(shù)×商+41，

　　251-41=除數(shù)×商，

　　∴210=除數(shù)×商。

　　∵210=2×3×5×7，

　　∴210的兩位數(shù)的約數(shù)有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余數(shù)41.所以除數(shù)是42或70.即要求的兩位數(shù)是42或70。

例2 用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù)，商40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

　　解：∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，

　　即被除數(shù)=除數(shù)×40+16。

　　由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877，

　　∴（除數(shù)×40+16）+除數(shù)=877，

　　∴除數(shù)×41=877-16，

　　除數(shù)=861÷41，

　　除數(shù)=21，

　　∴被除數(shù)=21×40+16=856。

　　答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21。

例3 某年的十月里有5個(gè)星期六，4個(gè)星期日，問這年的10月1日是星期幾？

　　解：十月份共有31天，每周共有7天，

　　∵31=7×4+3，

　　∴根據(jù)題意可知：有5天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。

　　∴這年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回?cái)?shù)（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？

　　解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），

　　從星期日往回?cái)?shù)5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數(shù)。

　　這是一道古算題.它早在《孫子算經(jīng)》中記有：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”

　　關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余數(shù)乘以70，用除以5的余數(shù)乘以21，用除以7的余數(shù)乘以15，再把三個(gè)乘積相加.如果這三個(gè)數(shù)的和大于105，那么就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：

　　方法1：2×70+3×21+2×15=233

　　233-105×2=23

　　符合條件的最小自然數(shù)是23。

例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：

　　方法2：[3，7]+2=23

　　23除以5恰好余3。

　　所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。

　　方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。

例6 一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數(shù)。

分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。

　　解：[5，6]-2=28，即28適合前兩個(gè)條件。

　　想：28+[5，6]×？之后能滿足“7除余1”的條件？

　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，

　　又148＜210=[5，6，7]

　　所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。

例7 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。

　　解：想：2+3×？之后能滿足“5除余3”的條件？

　　2+3×2=8。

　　再想：8+[3，5]×？之后能滿足“7除余4”的條件？

　　8+[3，5]×3=53。

　　∴符合條件的最小的自然數(shù)是53。

　　歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后，為了再滿足另一個(gè)條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。

　　解這類題目還有其他方法，將會(huì)在有關(guān)“同余”部分講到。

例8 一個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè).如果每次取3個(gè)，最后剩1個(gè)；如果每次取5個(gè)或7個(gè)，最后都剩2個(gè).布袋中至少有小球多少個(gè)？

　　解：2+[5，7]×1=37（個(gè)）

　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，

　　∴布袋中至少有小球37個(gè)。

例9 69、90和125被某個(gè)正整數(shù)N除時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值。

分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：

　　15除以2余1，19除以2余1，

　　即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）。

　　但是19-15能被2整除.

　　由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)a和b，均被自然數(shù)m除，余數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果兩個(gè)整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個(gè)整數(shù)被m除的余數(shù)一定相同。

　　例9可做如下解答：

　　∵三個(gè)整數(shù)被N除余數(shù)相同，

　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，

　　∴N是21和35的公約數(shù)。

　　∵要求N的最大值，

　　∴N是21和35的最大公約數(shù)。

　　∵21和35的最大公約數(shù)是7，

　　∴N最大是7。