一、植樹問(wèn)題
要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問(wèn)題，首先要牢記三要素：①總路線長(zhǎng).②間距（棵距）長(zhǎng).③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就可以求出第三個(gè)。
關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。
1.不封閉路線
例：如圖
① 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長(zhǎng)平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。
全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：
棵數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距+1
全長(zhǎng)=株距×（棵數(shù)-1）
株距=全長(zhǎng)÷（棵數(shù)-1）
② 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：
全長(zhǎng)=株距×棵數(shù)；
棵數(shù)=全長(zhǎng)÷株距；
株距=全長(zhǎng)÷棵數(shù)。
③ 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。
棵數(shù)=段數(shù)-1
=全長(zhǎng)÷株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。
株距=全長(zhǎng)÷（棵數(shù)+1）。
2.封閉的植樹路線
例如：在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。
棵數(shù)=段數(shù)=周長(zhǎng)÷株距.
二、方陣問(wèn)題
學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)題）。
方陣的基本特點(diǎn)是：
① 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。
② 每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：
四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)-1]×4；
每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)÷4＋1。
③ 中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮⿺?shù)=每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)。
例1 有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？
分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長(zhǎng)可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。
解：以10米為一段，公路全長(zhǎng)可以分成
900÷10＝90（段）
共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）
答：可栽電線桿91根。
例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問(wèn)汽車每小時(shí)走多少千米？
分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長(zhǎng)度就容易求出汽車速度.
解：5分鐘汽車共走了：
9×（501-1）=4500（米），
汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），
汽車每小時(shí)走：
900×60=54000（米）=54（千米）
列綜合式：
9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
答：汽車每小時(shí)行54千米。
例3 某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？
分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4＋1=16（人）
整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）
答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。
例4 晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？
分析 方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。
解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）×4=52（個(gè)）
第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）×4=44（個(gè)）
第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個(gè)）.
擺這個(gè)方陣共用棋子：
52+44＋36＝132（個(gè)）
還可以這樣想：
中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進(jìn)行計(jì)算。
解：（14-3）×3×4=132（個(gè)）
答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子。
例5 一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問(wèn)可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的株距是多少米？
分析 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問(wèn)題，其株數(shù)=段數(shù).② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。
解：共可栽芍藥花：180÷6＝30（棵）
共種月季花：2×30＝60（棵）
兩種花共：30+60=90（棵）
兩棵花之間距離：180÷90=2（米）
相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。
答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。
例6 一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？
分析 ①?gòu)囊阎獥l件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍.又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株， 則大三角形邊上栽的棵數(shù)為
9×2-1=17（棵）。
② 又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花
（17-1）×3=48（棵）。
③.再看圖中畫斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.在計(jì)算大三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過(guò)一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7（棵）
解：大三角形三條邊上共栽花：
（9×2-1-1）×3=48（棵）
中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：
（9-2）×3=21（棵）
整個(gè)花壇共栽花：48+21=69（棵）
答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。
