小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)題——整除性質(zhì)及應(yīng)用
 
 
　　整除有幾個(gè)性質(zhì)。其中一個(gè)性質(zhì)是：“如果數(shù)b能整除數(shù)a，數(shù)c能整除數(shù)a，且b和c互質(zhì)，那么b和c的積也能整除a。”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互質(zhì)，則2×3=6也能整除12。

　　整除的這一性質(zhì)，應(yīng)用較為廣泛。請(qǐng)看：

　　例1.只修改970405的某一個(gè)數(shù)字，就可使修改后的六位數(shù)能被225整除，修改后的六位數(shù)是_____。（安徽省1997年小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

　　解：逆向思考：因?yàn)?25=25×9，且25和9互質(zhì)，所以，只要修改后的數(shù)能分別被25和9整除，這個(gè)數(shù)就能被225整除。我們來(lái)分別考察能被25和9整除的情形。

　　由能被25整除的數(shù)的特征（末兩位數(shù)能被25整除）知，修改后的六位數(shù)的末兩位數(shù)可能是25，或75。

　　再據(jù)能被9整除的數(shù)的特征（各位上的數(shù)字之和能被9整除）檢驗(yàn)，得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝27，25＋7=32。

　　故知，修改后的六位數(shù)是970425。

　　例2.在3□2□的方框里填入合適的數(shù)字，使組成的四位數(shù)是能被15整除的數(shù)中最大的一個(gè)，這個(gè)數(shù)是多少？（山東省1997年小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題）

　　解：因?yàn)?5=3×5，且3和5互質(zhì)。所以，只需分別考察能被3和5整除的情形。

　　由能被5整除的數(shù)的特征知，組成的四位數(shù)的個(gè)位上是5或0。

　　再據(jù)能被3整除的數(shù)的特征試算，若個(gè)位上是5，則有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即組成的四位數(shù)是3825；若個(gè)位上是0，則有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即組成的四位數(shù)是3720。

　　故知，這個(gè)數(shù)是3825。

　　例3.一位采購(gòu)員買了72只桶，在記賬本上記下這筆賬。由于他不小心，火星落在賬本上把這筆賬的總數(shù)燒掉了兩個(gè)數(shù)字。賬本是這樣寫的：72只桶，共用去□67.9□元（□為被燒掉的數(shù)字），請(qǐng)你幫忙把這筆賬補(bǔ)上。應(yīng)是____元。（德陽(yáng)市第十屆小學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）。

　　解：72只桶共用去a67.9b元，把它改寫成a679b分后，應(yīng)能被72整除。72=8×9，8和9互質(zhì)，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

　　由能被8整除的數(shù)的特征（末三位數(shù)能被8整除）知，79b能被8整除，則b＝2；由能被9整除的數(shù)的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，則a=3。

　　故這筆賬應(yīng)是367.92元。

　　例4.將1至9九個(gè)數(shù)字寫在一條紙帶上，如下圖：

　　將它剪成三段，每段上數(shù)字聯(lián)在一起算一個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)相加，使和能被77整除，那么中間一段的數(shù)是____。（1998年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

　　解：因?yàn)?7=11×7，且11和7互質(zhì)，所以，只需分別考察能被11、7整除的情形。

　　由能被11整除的數(shù)的特征知，和的奇位數(shù)上數(shù)字之和與偶位數(shù)上數(shù)字之和的差能被11整除。

　　由數(shù)字1～9的和是45，可推知，和的奇位數(shù)上數(shù)字之和與偶位數(shù)上數(shù)字之和的差不可能是0。我們不妨設(shè)差為11，則有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。據(jù)此列舉、試算，得

　　再據(jù)能被7整除的數(shù)的特征（末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被7整除）檢驗(yàn)2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

　　故知，中間一段的數(shù)是56。

　　例5.有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們的平均數(shù)能分別被三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)整除。要使它們的和最小，這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？（山東省1997年小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）

　　解：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)等于這三個(gè)自然數(shù)中間的一個(gè)數(shù)。

　　要使這三個(gè)自然數(shù)的和最小，它們的平均數(shù)應(yīng)最小。要使它們的平均數(shù)最小，能分別整除它們平均數(shù)的三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)應(yīng)盡可能的小。我們不妨設(shè)這三個(gè)不同的質(zhì)數(shù)是2、3、5。能分別被2、3、5整除的最小數(shù)是2×3×5=30。即所求的這三個(gè)自然數(shù)的平均數(shù)是30，也就是這三個(gè)自然數(shù)中間的一個(gè)數(shù)是30。

　　故知，這三個(gè)自然數(shù)分別是29、30、31。

　　練一練：

　　1.如果各位數(shù)字都是1的某個(gè)整數(shù)能被33333整除，那么這個(gè)整數(shù)中1的個(gè)數(shù)至少有_____個(gè)。（答：15個(gè)）

　　2.要使四位數(shù)□7□2能被24整除，且最小，方框中各應(yīng)填上什么數(shù)字？（答：1、5）

　　3.修改693205中的一個(gè)數(shù)字，使修改后的數(shù)能被275整除。修改后的數(shù)是_____。（答：693275）