小學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽專題之雞兔同籠問(wèn)題

　　[專題介紹]雞兔同籠問(wèn)題是指在應(yīng)用題中給出了雞和兔子的總頭數(shù)和總腿數(shù)，求雞和兔子各有多少只的一類問(wèn)題。雞兔同籠問(wèn)題在解答過(guò)程中用到假設(shè)的思路，可以假設(shè)都是兔子，這樣總腿數(shù)就比實(shí)際腿數(shù)要多，多出來(lái)的腿數(shù)就是把雞當(dāng)兔子多算的，因此再除以一只雞比一只兔子少的腿數(shù)就可以求得雞有多少只。也可以假設(shè)成都是雞，這樣就可以求得兔有多少只。

　　[經(jīng)典例題]例1雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？

　　[分析]：如果46只都是兔，一共應(yīng)有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來(lái)置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應(yīng)該換進(jìn)幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒(méi)有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28，兔的只數(shù)是46-28=18。

　　解：①雞有多少只？

　　（4×6-128）÷（4-2）

　　=（184-128）÷2

　　=56÷2

　　=28（只）

　　②免有多少只？

　　46-28=18（只）

　　答：雞有28只，免有18只。

　　[總結(jié)]：先假設(shè)它們?nèi)�是�?于是根據(jù)雞兔的總只數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看相差多少.每差2只腳就說(shuō)明有一只雞；將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法為假設(shè)法.概括起來(lái)，解雞兔同籠問(wèn)題的基本關(guān)系式是：

　　雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)×兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）

　　兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)

　　當(dāng)然，也可以先假設(shè)全是雞。

　　例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？

　　[分析]：這個(gè)例題與前面例題是有區(qū)別的，沒(méi)有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳數(shù)的差.這又如何解答呢？

　　假設(shè)100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2×100=200（只）這時(shí)兔的腳數(shù)為0，雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），這是因?yàn)榘哑渲械耐脫Q成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳數(shù)減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。

　　解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

　　100-20=80（只）。

　　答：雞與兔分別有80只和20只。

　　例3紅英小學(xué)三年級(jí)有3個(gè)班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個(gè)班各有多少人？

　　[分析1]我們?cè)O(shè)想，如果條件中三個(gè)班人數(shù)同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過(guò)假設(shè)三個(gè)班人數(shù)同樣多來(lái)分析求解。

　　結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標(biāo)準(zhǔn)，則二班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)多7-5=2（人）.那么，請(qǐng)你算一算，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多，三個(gè)班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？

　　解法1：

　　一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

　　=44（人）

　　二班：44+5=49（人）

　　三班：49-7=42（人）

　　答：三年級(jí)一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

　　[分析2]假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那么，一班人數(shù)比實(shí)際要多5人，而三班要比實(shí)際人數(shù)多7人.這時(shí)的總?cè)藬?shù)又該是多少？

　　解法2：（135+5+7）÷3

　　=147÷3

　　=49（人）

　　49-5=44（人），49-7=42（人）

　　答：三年級(jí)一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

　　例4劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問(wèn)大船、小船各租幾條？

　　[分析]我們分步來(lái)考慮：

　　①假設(shè)租的10條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐6×10=60（人）。

　　②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實(shí)際人數(shù)多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人。

　　③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當(dāng)成大船。

　　解：[6×10-(41+1）÷（6-4）

　　=18÷2=9（條）

　　10-9=1（條）

　　答：有9條小船，1條大船。

　　例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20對(duì)（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬6條腿，一對(duì)翅膀），求蜻蜓有多少只？

　　[分析]這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問(wèn)題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿，則總腿數(shù)為6×18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再?gòu)某岚驍?shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1×13=13（對(duì)），比實(shí)際數(shù)少20-13＝7（對(duì)），這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀，而我們只按一對(duì)翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷（2-1）=7（只）.

　　解：①假設(shè)蜘蛛也是6條腿，三種動(dòng)物共有多少條腿？

　　6×18=108（條）

　　②有蜘蛛多少只？

　　（118-108）÷（8-6）=5（只）

　　③蜻蜒、蟬共有多少只？

　　18-5=13（只）

　　④假設(shè)蜻蜒也是一對(duì)翅膀，共有多少對(duì)翅膀？1×13=13（對(duì)）

　　⑤蜻蜒多少只？

　　（20-13）÷2-1）=7（只）

　　答：蜻蜒有7只.