小學奧數競賽專題之最優化問題

　　[專題介紹]最優化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現象，即要在盡可能節省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優化問題成為現代數學的一個重要課題，涉及統籌、線性規劃一排序不等式等內容。

　　最優化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開拓解題思路，增強數學能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎知識相當廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以例題的方式讓大家體會解決這些問題的方法和經驗。

　　[經典例題]

　　例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？

　　[分析]因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設有13只箱子，，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。

　　因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。

　　例2:用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？

　　[分析]一個10尺長的竹竿應有三種截法：

　　（1）3尺兩根和4尺一根，最省；

　　（2）3尺三根，余一尺；

　　（3）4尺兩根，余2尺。

　　為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。

　　例3:一個銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數，而且是三個連續偶數，它們個位數字的和是7的倍數，這個三角形的周長最長應是多少厘米？

　　[分析]因為三角形三邊是三個連續偶數，所以它們的個位數字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數，又因為它們的個位數字的和是7的倍數，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為86+88+90=264厘米。

　　例4:把25拆成若干個正整數的和，使它們的積最大。

　　[分析]先從較小數形開始實驗，發現其規律：

　　把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；

　　把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；

　　把8拆成3+3+2，其積為3×3×2=18最大；

　　把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；……

　　這就是說，要想分拆后的數的乘積最大，應盡可能多的出現3，而當某一自然數可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。

　　例5:A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？

　　[分析]設A走X天后返回，A留下自己返回時所需的食物，剩下的轉給B，此時B共有（48-3X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

　　如果改變條件，則問題關鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。

　　例6:甲、乙兩個服裝廠每個工人和設備都能全力生產同一規格的西服，甲廠每月用的時間生產上衣，的時間生產褲子，全月恰好生產900套西服；乙廠每月用的時間生產上衣，的時間生產褲子，全月恰好生產1200套西服，現在兩廠聯合生產，盡量發揮各自特長多生產西服，那么現在每月比過去多生產西服多少套？

　　[分析]根據已知條件，甲廠生產一條褲子與一件上衣的時間之比為2:3；因此在單位時間內甲廠生產的上衣與褲子的數量之比為2:3；同理可知，在單位時間內乙廠生產上衣與褲子的數量之比是3:4；，由于，所以甲廠善于生產褲子，乙廠善于生產上衣。兩廠聯合生產，盡量發揮各自特長，安排乙廠全力生產上衣，由于乙廠生產月生產1200件上衣，那么乙廠全月可生產上衣1200÷=2100件，同時，安排甲廠全力生產褲子，則甲廠全月可生產褲子900÷=2250條。

　　為了配套生產，甲廠先全力生產2100條褲子，這需要2100÷2250=月，然后甲廠再用月單獨生產西服900×=60套，于是，現在聯合生產每月比過去多生產西服

　　（2100+60）-（900+1200）=60套

　　例7今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質數）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？

　　[分析]因為1400=7×200，所以原題可以轉化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。

　　[解]乙有必勝的策略。

　　由于200=4×50，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數。如此最后出現剩下數為不超過20的4的倍數，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。

　　[說明]（1）此題中，乙是“后發制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關鍵是看他們所面臨的“情形”；

　　（2）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情形--剩余棋子的顆數分成兩類，第一類是4的倍數，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。

　　例8有一個80人的旅游團，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個房間？

　　[分析]為了使得所住房間數最少，安排時應盡量先安排11人房間，這樣50人男的應安排3個11人間，2個5人間和1個7人間；30個女人應安排1個11人間，2個7人間和1個5人間，共有10個房間。

　　[練習]

　　1、十個自然數之和等于1001，則這十個自然數的最大公約數可能取的最大值是多少？（不包括0）

　　2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？

　　3、5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個水龍頭適當安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？

　　4、某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿。若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？

　　5、有1995名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規，問完成任務后應該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？

　　6、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數，規則是禁止寫黑板上已寫過的數的約數，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？

　　[習題參考答案及思路分析]

　　1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13為公約數,這樣這十個正整數可以是,91×2，它們的最大公約數為91。

　　2、對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為×4×4=8。

　　3、為了使每個人排隊和打水時間的總和最小，有兩種方法：

　　（1）排隊的人盡量少；（2）每次排隊的時間盡量少。因此應先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊人多的時候，每個人等待的時間要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分鐘）。

　　4、由于甲、乙單獨開放都不可能在10小時注滿水池，因此必須有時間甲、乙全放。為了使它們合放的時間最少，應盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時注滿水池的，余下只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。

　　5、此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規律，從而解決復雜問題，最后集合地點應在中間地點。

　　6、先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個，把它們分成數對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數對中的某個數，甲就寫數對中的另一個數，則甲必勝。