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指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)解析

來(lái)源:http://www.jiajiao100.com/ 文章作者:dfss 2008-11-04 11:18:51

智能內(nèi)容
指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

一、計(jì)算:

例1.化簡(jiǎn)

(1)  (2)

(3)

解:(1)x的指數(shù)是

所以原式=1

(2)x的指數(shù)是

=0

所以原式=1

(3)原式=

例2.若,求

解:因?yàn)?sub>

      

所以f(x)+f(1-x)=1

=

例3.已知m,n為正整數(shù),a>0,a¹1,且

m,n

解:左邊=

   

原式為loga(m+n)=logamn

m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

因?yàn)?i>m,nÎN,所以從而m=n=2

二、比較大小

例1.試比較的大小

解:令121995=a>0則

¸=

所以>

例2.已知函數(shù)f(x)=logax (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,試比較的大小

解:f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)

x1,x2ÎR+,∴ (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取“=”號(hào)),

當(dāng)a>1時(shí),有,∴

(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取“=”號(hào))

當(dāng)a>1時(shí),有,∴

(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),取“=”號(hào))

例3.已知y1=y2=,當(dāng)x為何值時(shí)

(1)y1=y2     (2)y1>y2     (3)y1<y2

解:由指數(shù)函數(shù)y=3x為增函數(shù)知

(1)y1=y2的充要條件是:2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3

(2)y1>y2的充要條件是:2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3

(3)y1<y2的充要條件是:2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3

三、證明

例1.對(duì)于自然數(shù)a,b,c (a£b£c)和實(shí)數(shù)x,y,z,wax=by=cz=70w (1) (2)

求證:a+b=c

證明:由(1)得:

把(2)代入得:abc=70=2´5´7,a£b£c

由于a,b,c均不會(huì)等于1,故a=2,b=5,c=7從而a+b=c

例2.已知A=6lgp+lgq,其中p,q為素?cái)?shù),且滿足q-p=29,求證:3<A<4

證明:由于p,q為素?cái)?shù),其差q-p=29為奇數(shù),∴p=2,q=31

A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984

1000<1984<10000 故3<A<4

例3.設(shè)f(x)=logax (a>0,a¹1)且 (q為銳角),求證:1<a<15

證明:∵q是銳角,∴,從而a>1

f(15)==sinq+cosq

=1

a<15  綜合得:1<a<15

例4.已知0<a<1,x2+y=0,求證:

證:因?yàn)?<a<1,所以ax>0,ay>0由平均值不等式

四、圖象和性質(zhì)

例1.設(shè)ab分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b及l(fā)og2a+2b

解:在直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=2xy=log2x的圖象,再作直線y=xy= -x+3,由于y=2xy=log2x互為反函數(shù),故它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,方程log2x+x-3=0的根a就是直線y= -x+3與對(duì)數(shù)曲線y=log2x的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo),方程2x+x-3=0的根b就是直線y= -x+3與指數(shù)曲線y=2x的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)

設(shè)y= -x+3與y=x的交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為(1.5,1.5),

所以a+b=2xM=3  log2a+2b=2yM=3

例6.設(shè)f(x)=min(3+,log2x),其中min(p,q)表示pq中的較小者,求f(x)的最大值

解:易知f(x)的定義域?yàn)?0,+¥)

因?yàn)?i>y1=3+在(0,+¥)上是減函數(shù),y2=log2x在(0,+¥)上是增函數(shù),而當(dāng)y1=y2,即

3+=log2x時(shí),x=4,所以由y1=3+y2=log2x的圖象可知

故當(dāng)x=4時(shí),得f(x)的最大值是2

另解:f(x)£3+=3- (1)    f(x)=log2x  (2)

(1)´2+(2)消去log2x,得3f(x)£6,f(x)£2

f(4)=2,故f(x)的最大值為2

例7.求函數(shù)的最小值

解:由1-3x>0得,x<0,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-¥,0)

令3x=t,則tÎ(0,1),于是

故當(dāng)x= -1時(shí),得y的最小值-2+2log23

五、方程和不等式

例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5  (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0

解:(1)原方程即:log22x+log2(2x-31) =5

log2[2x(2x -31)]=5  (2x)2-31×2x=32

解得:2x=32, ∴x=5

(2)原方程即:(2lgx)2-5×2lgx+4=0

解得:x1=100,x2=1

例2.設(shè)a>0且a¹1,求證:方程ax+a-x=2a的根不在區(qū)間[-1,1]內(nèi)

解:設(shè)t=ax,則原方程化為:t2-2at+1=0  (1)

由D=4a2-4³0得a³1,即a>1

f(t)= t2-2at+1

f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

所以f(t)的圖象與橫軸有的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在之外,故方程t2-2at+1=0在之外有兩個(gè)實(shí)根,原方程有兩實(shí)根且不在區(qū)間[-1,1]內(nèi)

例3.解方程:lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù))

解:由[x]的定義知,[xx,故原方程可變?yōu)椴坏仁剑?/p>

lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2

當(dāng)-1£lgx<0時(shí),[lgx]= -1,于是原方程為lg2x=1

當(dāng)0£lgx<1時(shí),[lgx]=0,原方程為lg2x=2,均不符合[lgx]=0

當(dāng)1£lgx<2時(shí),[lgx]=1,原方程為lg2x=3,所以lgx=

當(dāng)lgx=2時(shí),x=100

所以原方程的解為x1=

例4.當(dāng)a為何值時(shí),不等式

有且只有一解

解:易知:a>0且a¹1,設(shè)u=x2+ax+5,原不等式可化為

(1)當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式為 (1)

由于當(dāng)u³0時(shí),均為單調(diào)增函數(shù),所以它們的乘積

也是單增函數(shù)

因?yàn)?i>f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1

所以(1)等價(jià)于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有無(wú)窮多解

(2)當(dāng)a>1時(shí),不等式化為 (2)

f(4)=1知,(2)等價(jià)于0£u£4,即0£x2+ax+5£4

從上式可知,只有當(dāng)x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0,a=2時(shí),不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1

綜上所述,當(dāng)a=2時(shí)原不等式有且只有一個(gè)解

例5.已知a>0且a¹1,試求使方程有解的k的取值范圍

解:原方程即

分別解關(guān)于的不等式、方程得: (k¹0時(shí))

所以解得k< -1或0<k<1

又當(dāng)k=0時(shí),代入原式可推出a=0與已知矛盾,故k的取值范圍為(-¥,-1)U(0,1)

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