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幾個重要不等式(二)柯西不等式題解

來源:http://www.jiajiao100.com/ 文章作者:dfss 2008-11-04 11:17:23

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幾個重要不等式(二)柯西不等式

,當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號

柯西不等式的幾種變形形式

1.設aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則,當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號

2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n),則,當且僅當b1=b2=…=bn時取等號

例1.已知a1,a2,a3,…,an,b1,b2,…,bn為正數,求證:

證明:左邊=

例2.對實數a1,a2,…,an,求證:

證明:左邊=

例3.在DABC中,設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R,求證:

證明:左邊³

例4.設a,b,c為正數,且a+b+c=1,求證:

證明:左邊=

     ³

     =

     =

例5.若n是不小于2的正整數,試證:

證明:

所以求證式等價于

由柯西不等式有

于是:

又由柯西不等式有

<

例6.設x1,x2,…,xn都是正數(n³2)且,求證:

證明:不等式左端即  (1)

,取,則   (2)

由柯西不等式有  (3)

綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得:


三、排序不等式

a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列,則有:

a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn

反序和£亂序和£同序和

例1.對a,b,cÎR+,比較a3+b3+c3a2b+b2c+c2a的大小

解:取兩組數a,b,c;a2,b2,c2,則有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正實數a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/,則有

證明:取兩組數a1,a2,…,an

其反序和為,原不等式的左邊為亂序和,有

例3.已知a,b,cÎR+求證:

證明:不妨設a³b³c>0,則>0且a12³b12³c12>0

例4.設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列,求證:

證明:設b1,b2,…,bn-1a1,a2,…,an-1的一個排列,且b1<b2<…<bn-1;

c1,c2,…,cn-1a2,a3,…,an的一個排列,且c1<c2<…<cn-1

b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1;c1£2,c2£3,…,cn-1£n

利用排序不等式有:

例5.設a,b,cÎR+,求證:

證明:不妨設a³b³c,則,a2³b2³c2>0

由排序不等式有:

 

兩式相加得

又因為:a3³b3³c3>0,

兩式相加得

例6.切比雪不等式:若a1£a2£…£anb1£b2£…£bn,則

a1£a2£…£anb1³b2³…³bn,則

證明:由排序不等式有:

a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1

將以上式子相加得:

n(a1b1+a2b2+…+anbn a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)

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