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幾個重要不等式(一)題解

來源:http://www.jiajiao100.com/ 文章作者:dfss 2008-11-04 11:17:16

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幾個重要不等式(一)

一、平均值不等式

a1,a2,…, ann個正實數,則,當且僅當a1=a2=…=an時取等號

1.二維平均值不等式的變形

(1)對實數a,ba2+b2³2ab          (2)對正實數a,b

(3)對b>0,有   (4)對ab2>0有

(5)對實數a,ba(a-bb(a-b)                (6)對a>0,有

(7) 對a>0,有                   (8)對實數aba2³2ab-b2

(9) 對實數ab及l¹0,有

二、例題選講

例1.證明柯西不等式

證明:法一、若命題顯然成立,對¹0且¹0,取

代入(9)得

兩邊平方得

法二、,即二次式不等式恒成立

則判別式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明:

(1)

(2)

證明:(1)左=[]

=

³

(2)由

同理:

相加得:左³

例3.求證:

證明:法一、取,有

a1(a1-bb(a1-b), a2(a2-bb(a2-b),…, an(an-bb(an-b)

相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得: (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)

=(a12+ a22+…+ an2)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正實數,且a1+ a2+…+ an<1,證明:

證明:設1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

則原不等式即nn+1a1a2an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-annn+1

例5.對于正整數n,求證:

證明:法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an為正數,且,求證:

(1)

(2)

證明:(1)

相乘左邊³=(n2+1)n

證明(2)

左邊= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

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