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1993年全國數學聯賽第二試(高中)

來源:數學聯賽 文章作者:數學聯賽 2008-11-04 10:44:05

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一.(35分) 設一凸四邊形ABCD,它的內角中僅有∠D是鈍角,用一些直線段將該凸四邊形分割成n個鈍角三角形,但除去A、B、C、D外,在該四邊形的周界上,不含分割出的鈍角三角形頂點.試證n應滿足的充分必要條件是n≥4.

二.(35分) 設A是一個有n個元素的集合,A的m個子集A1,A2,…,Am兩兩互不包含. 試證:
(1)≤1; (2)≥m2
其中|Ai|表示Ai所含元素的個數,表示n個不同元素取|Ai|個的組合數.

三.(35分) 水平直線m通過圓O的中心,直線 l⊥m,l與m相交于M,點M在圓心的右側,直線l上不同的三點A,B,C在圓外,且位于直線m上方,A點離M點最遠,C點離M點最近,AP,BQ,CR為圓O的三條切線,P,Q,R為切點.試證:
(1)l與圓O相切時,AB×CR+BC×AP=AC×BQ;
(2)l與圓O相交時,AB×CR+BC×AP<AC×BQ;
(3)l與圓O相離時,AB×CR+BC×AP>AC×BQ.

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