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1994年全國數學聯合競賽試題(高中)

來源:數學聯賽 文章作者:數學聯賽 2008-11-04 10:42:45

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一、選擇題(每小題6分,共36分)

1、設是實數,那么對任何實數,不等式都成立的充要條件是( )。

(A)同時為0,且;(B);

(C);(D)。

2、給出下列兩個命題:

(1)設都是復數,如果,則。

(2)設都是復數,如果,則

那么下述說法正確的是( )。

(A)命題(1)正確,命題(2)也正確;(B)命題(1)正確,命題(2)錯誤;

(C)命題(1)錯誤,命題(2)也錯誤;(D)命題(1)錯誤,命題(2)正確。

3、已知數列滿足,且,其前項之和為,則滿足不等式的最小整數是( )。

(A)5;(B)6;(C)7;(D)8。

4、已知,,則下列三數:,,的大小關系是( )。

(A);(B);(C);(D)。

5、在正棱錐中,相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是( )。

(A);(B);(C);(D)。

6、在平面直角坐標系中,方程是不相等的兩個正數)所代表的曲線是( )。

(A)三角形;(B)正方形;(C)非正方形的長方形;(D)非正方形的菱形。

二、填空題(每小題9分,共54分)

1、已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標分別為(-1,1)和(2,2),若直線與PQ的延長線相交,則的取值范圍是 __________。

2、已知,,則 __________。

3、已知點集

,則點集中的整點(即橫、縱坐標均為整數的點)的個數為 __________。

4、設,則的最大值是 __________。

5、已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于,則__________。

6、已知95個數,每個都只能。1或-1兩個值之一,那么它們的兩兩之積的和的最小值是__________。

(第二試)

一、(本題滿分25分)的二次方程中,均是復數,且,設這個方程的兩個根滿足,求的最大值和最小值。

二、(本題滿分25分)將與105互素的所有正整數從小到大排成數列,試求出這個數列的第1000項。

三、(本題滿分35分)如圖,設三角形的外接圓O的半徑為R,內心為I,∠B=60°,∠A<∠C,∠A的外角平分線交圓O于E。證明:

 

(1)IO=AE;(2)2R<IO+IA+IC<(1+)R。

四、(本題滿分35分)給定平面上的點集,P中任三點均不共線,將P中的所有的點任意分成83組,使得每組至少有3個點,且每點恰好屬于一組,然后將在同一組的任兩點用一條線段相連,不在同一組的兩點不連線段,這樣得到一個圖案G,不同的分組方式得到不同的圖案,將圖案G中所含的以P中的點為頂點的三角形個數記為。

(1)求的最小值。

(2)設是使的一個圖案,若中的線段(指以P的點為端點的線段)用4種顏色染色,每條線段恰好染一種顏色。證明存在一個染色方案,使染色后不含以P的點為頂點的三邊顏色相同的三角形。

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