1994年全國數學聯合競賽試題（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:42:45
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1、設是實數,那么對任何實數
，不等式
都成立的充要條件是（ ）。
（A）同時為0，且
；（B）
；
（C）；（D）
。
2、給出下列兩個命題：
（1）設都是復數，如果
，則
。
（2）設都是復數，如果
，則
。
那么下述說法正確的是（ ）。
（A）命題（1）正確，命題（2）也正確；（B）命題（1）正確，命題（2）錯誤；
（C）命題（1）錯誤，命題（2）也錯誤；（D）命題（1）錯誤，命題（2）正確。
3、已知數列滿足
，且
，其前
項之和為
,則滿足不等式
的最小整數
是（ ）。
（A）5；（B）6；（C）7；（D）8。
4、已知，
，則下列三數：
，
，
的大小關系是（ ）。
（A）；（B）
；（C）
；（D）
。
5、在正棱錐中,相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（ ）。
（A）；（B）
；（C）
；（D）
。
6、在平面直角坐標系中,方程（
是不相等的兩個正數）所代表的曲線是（ ）。
（A）三角形；（B）正方形；（C）非正方形的長方形；（D）非正方形的菱形。
二、填空題（每小題9分，共54分）
1、已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標分別為（－1，1）和（2，2），若直線與PQ的延長線相交，則
的取值范圍是 __________。
2、已知，
且
，則
__________。
3、已知點集，
，則點集
中的整點（即橫、縱坐標均為整數的點）的個數為 __________。
4、設，則
的最大值是 __________。
5、已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于，則
__________。
6、已知95個數，每個都只能�。�1或－1兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和
的最小值是__________。
（第二試）
一、（本題滿分25分）的二次方程
中，
均是復數，且
，設這個方程的兩個根
滿足
，求
的最大值和最小值。
二、（本題滿分25分）將與105互素的所有正整數從小到大排成數列，試求出這個數列的第1000項。
三、（本題滿分35分）如圖，設三角形的外接圓O的半徑為R，內心為I，∠B＝60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分線交圓O于E。證明：
（1）IO＝AE；（2）2R＜IO＋IA＋IC＜（1＋）R。
四、（本題滿分35分）給定平面上的點集，P中任三點均不共線，將P中的所有的點任意分成83組，使得每組至少有3個點，且每點恰好屬于一組，然后將在同一組的任兩點用一條線段相連，不在同一組的兩點不連線段，這樣得到一個圖案G，不同的分組方式得到不同的圖案，將圖案G中所含的以P中的點為頂點的三角形個數記為
。
（1）求的最小值。
（2）設是使
的一個圖案，若
中的線段（指以P的點為端點的線段）用4種顏色染色，每條線段恰好染一種顏色。證明存在一個染色方案，使
染色后不含以P的點為頂點的三邊顏色相同的三角形。
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