2002年全國數學聯賽競賽試題（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:45:19
| 一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分） 1、函數f(x)=log1/2(x2-2x-3)的單調遞增區間是（ ）。 （A）（－∞,－1） �。˙）（－∞,1） �。–）（1,＋∞） �。―）（3,＋∞） 2、若實數x，y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為（ �。�。 （A）2 �。˙）1 �。–）√3 （D）√2 3、函數f(x)=x/(1-2x)-x/2（ �。� （A）是偶函數但不是奇函數（B）是奇函數但不是偶函數（C）既是偶函數又是奇函數（D）既不是偶函數也不是奇函數 4、直線x/4+y/3=1與橢圓x2/16+y2/9=1相交于A，B兩點，該橢圓上點P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點P共有（ ）。 （A）1個 �。˙）2個 �。–）3個 �。―）4個 5、已知兩個實數集合A＝｛a1,a2,…,a100｝與B＝｛b1,b2,…,b50｝，若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤ （A） 6、由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V1；滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V2，則（ �。� （A）V1=（1/2）V2 （B）V1=（2/3）V2 （C）V1=V2 （D）V1=2V2 二、填空題（本題滿分54分，每小題9分） 7、已知復數Z1,Z2滿足ㄏZ1ㄏ＝2,ㄏZ2ㄏ＝3,若它們所對應向量的夾角為60°,則ㄏ(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)ㄏ= 。 8、將二項式 9、如圖，點P1，P2，…，P 10分別是四面體頂點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有 個。 10、已知f(x)是定義在R上的函數，f(1)=1且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= 。 11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則ㄏxㄏ-ㄏyㄏ的最小值是 。 12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx對一切x∈R恒成立的負數a的取值范圍是 。 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分） 13、已知點A（0,2）和拋物線y2=x+4上兩點B，C使得AB⊥BC，求點C的縱坐標的取值范圍。 14、如圖，有一列曲線P0，P1，P2……，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積。 （1）求數列｛Sn｝的通項公式； （2）求 15、設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件： （1）當x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2）當x∈(0,2)時，f(x)≤((x+1)/2)2; （3）f(x)在R上的最小值為0. 求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。 |
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