A2－031 對(duì)給定的一個(gè)正整數(shù)n．設(shè)p（n）表示n的各位上的非零數(shù)字乘積（如果n只有一位數(shù)字，那么p（n）等于那個(gè)數(shù)字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋…＋p（999），則S的最大素因子是多少？

【題說】 第十二屆（1994年）美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題5．

【解】 將每個(gè)小于1000的正整數(shù)作為三位數(shù)，（若位數(shù)小于3，則前面補(bǔ)0，如 25可寫成 025），所有這樣的正整數(shù)各位數(shù)字乘積的和是

（0?0?0＋0?0?1＋0?0?2＋…＋9?9?8＋9?9?9）－0?0?0

＝（0＋1＋2＋…＋9）³－0

p（n）是n的非零數(shù)字的乘積，這個(gè)乘積的和可以由上面表達(dá)式將0換成1而得到．

因此，

＝46³－1＝3³?5?7?103

最大的素因子是103．

  A2－032 求所有不相同的素?cái)?shù)p、q、r和s，使得它們的和仍是素?cái)?shù)，并且p²＋qs及p²＋qr都是平方數(shù)．

【題說】 第二十屆（1994年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題7．

【解】 因?yàn)樗膫�(gè)奇素?cái)?shù)之和是大于2的偶數(shù)，所以所求的素?cái)?shù)中必有一個(gè)為偶數(shù)<FONT lang=