【競賽知識點(diǎn)撥】

一、 平移變換

1．　 定義 設(shè)是一條給定的有向線段，T是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X‘，使得=，則T叫做沿有向線段的平移變換。記為XX’，圖形FF‘ 。

2．　 主要性質(zhì) 在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本�，三角形變?yōu)槿�角形，圓變?yōu)閳A。兩對應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。

二、 軸對稱變換

1．　 定義 設(shè)l是一條給定的直線，S是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X’，使得X與X‘關(guān)于直線l對稱，則S叫做以l為對稱軸的軸對稱變換。記為XX’，圖形FF‘ 。

2．　 主要性質(zhì) 在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。

三、 旋轉(zhuǎn)變換

1．　 定義 設(shè)α是一個(gè)定角，O是一個(gè)定點(diǎn)，R是平面上的一個(gè)變換，它把點(diǎn)O仍變到O（不動點(diǎn)），而把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，則R叫做繞中心O，旋轉(zhuǎn)角為α的旋轉(zhuǎn)變換。記為XX‘，圖形FF’ 。

其中α<0時(shí)，表示∠XOX‘的始邊OX到終邊OX’的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向；α>0時(shí)，為逆時(shí)針方向。

2． 主要性質(zhì) 在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

四、 位似變換

1．　 定義 設(shè)O是一個(gè)定點(diǎn)，H是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X‘，使得 =k?，則H叫做以O(shè)為位似中心，k為位似比的位似變換。記為XX’，圖形FF‘ 。

其中k>0時(shí)，X’在射線OX上，此時(shí)的位似變換叫做外位似；k<0時(shí), X‘在射線OX的反向延長線上，此時(shí)的位似變換叫做內(nèi)位似。

2．　 主要性質(zhì) 在位似變換下，一對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿�點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點(diǎn)；兩對應(yīng)圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心。

【競賽例題剖析】

【例1】P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠PAB=∠PCB。

求證：∠PBA=∠PDA。

【分析】作變換△ABP△DCP’，

則△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四邊形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

∴P、D、P‘、C四點(diǎn)共圓。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

【例2】“風(fēng)平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。

求證：Ｓ_△AOB‘+Ｓ_△BOC’+Ｓ_△COA‘<。

【分析】作變換△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，則R’、R‘’重合，記為R。P、R、Q共線，O、A、Q共線，O、B‘、P共線，△OPQ為等邊三角形。

∴Ｓ_△AOB’+Ｓ_△BOC‘+Ｓ_△COA’<Ｓ_△OPQ=

【例3】在兩條對角線長度以及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形。

【分析】取AC、BD的中點(diǎn)E、F，令A(yù)CA‘C’，則A‘BC’D是一個(gè)符合條件的平行四邊形。延長AF、CC‘交于G。

∵E是AC的中點(diǎn)且EF∥CC’，F(xiàn)C‘∥EC，∴F、C’分別為AG、CG的中點(diǎn)。

∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。

故當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，周長最小。

【評注】當(dāng)已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時(shí)，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。

【例4】P是⊙O的弦AB的中點(diǎn)，過P點(diǎn)引⊙O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。（蝴蝶定理）

【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn)F’F，顯然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF�！逷FPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB�！唷螰’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四點(diǎn)共圓�！唷螾F’M=∠PDE=∠PFN。

∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

【評注】一般結(jié)論為：已知半徑為R的⊙O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P，過P作兩條相交弦CD、EF，連CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中點(diǎn)的距離為a，則。（解析法證明：利用二次曲線系知識）

【例5】⊙O是給定銳角∠ACB內(nèi)一個(gè)定圓，試在⊙O及射線CA、CB上各求一點(diǎn)P、Q、R，使得△PQR的周長為最小。

【分析】在圓O上任取一點(diǎn)P₀，令P₀P₁，P₀P₂，連結(jié)P₁P₂分別交CA、CB于Q₁、R₁。顯然△P₀Q₁R₁是在取定P₀的情況下周長最小的三角形。

設(shè)P₀P₁交CA于E，P₀P₂交CB于F，則P₀Q₁ +Q₁R₁ +R₁P₀= P₁P₂=2EF。

∵E、C、F、P₀四點(diǎn)共圓，CP₀是該圓直徑，由正弦定理，EF=CP₀sin∠ECF。

∴當(dāng)CP₀取最小值時(shí)，EF為最小，從而△P₀Q₁R₁的周長為最小，于是有作法：

連結(jié)OC，交圓周于P，令PP₁，PP₂，連結(jié)P₁P₂分別交CA、CB于Q、R。則P、Q、R為所求。

【例6】△ABC中，∠A≥90°，AD⊥BC于D，△PQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證：PQ+QR+RP>2AD。

【分析】設(shè)PP’，PP‘’。則RP=RP‘，PQ=P’‘Q，AP=AP’=AP‘’。

∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。

又∠A≥90°，∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°，A點(diǎn)在線段P‘P’‘上或在凸四邊形P’RQP‘’的內(nèi)部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。

∴PQ+QR+RP>2AD。

【評注】如果題設(shè)中有角平分線、垂線，或圖形是等腰三角形、圓等軸對稱圖形，可以將圖形或其部分進(jìn)行軸對稱變換。此外，也可以適當(dāng)選擇對稱軸將一些線段的位置變更，以便于比較它們之間的大小。

【例7】以△ABC的邊AB、AC為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是BC的中點(diǎn)。求證：MP=MQ，MP⊥MQ。

【分析】延長BP到E，使PE=BP，延長CQ到F， 使QF=CQ，則△BAE、△CAF都是等腰三角形。

顯然：EB，CF，∴EC=BF，EC⊥BF。

而PMEC，MQBF，∴MP=MQ，MP⊥MQ。

【例8】已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O為費(fèi)馬點(diǎn)）

【分析】將CC‘，OO’， PP‘，連結(jié)OO’、PP‘。則△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘ =PB。顯然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。

由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四點(diǎn)共線。

∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

【例9】⊙O與△ABC的三邊BC、CA、AB分別交于點(diǎn)A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂，過上述六點(diǎn)分別作所在邊的垂線a₁、a₂、b₁、b₂、，設(shè)a₁、b₂、c₁三線相交于一點(diǎn)D。求證：a₂、b₁、c₂三線也相交于一點(diǎn)。

【分析】∵a₁、a₂關(guān)于圓心O成中心對稱，

∴a₁a₂。

同理，b₁b₂，c₁c₂。

∴a₁、b₂、c₁的公共點(diǎn)D在變換R（O，180°）下的像D’也是像a₂、b₁、c₂的公共點(diǎn)，即a₂、b₁、c₂三線也相交于一點(diǎn)。

【例10】AD是△ABC的外接圓O的直徑，過D作⊙O的切線交BC于P，連結(jié)并延長PO分別交AB、AC于M、N。求證：OM=ON。

【分析】設(shè)OO‘，NN’，而MB，

∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線，∴B、O‘、N’三點(diǎn)共線，且。

取BC中點(diǎn)G，連結(jié)OG、O‘G、DG、DB。

∵∠OGP=∠ODP=90°，∴P、D、G、O四點(diǎn)共圓。

∴∠ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG，

∴∠ODG=∠O’BG，∴O‘、B、D、G四點(diǎn)共圓。

∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB，∴∠O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，

而G是BC的中點(diǎn)，∴O‘是BN’的中點(diǎn)，O‘B= O’ N‘，

∴OM=ON。