B1-022  設P(x)是自然數x在十進制中各位數字的乘積．試求出所有能使P(x)=x²-10x-22成立的自然數．

【題說】第十屆(1968年)國際數學奧林匹克題2．本題由捷克斯洛伐克提供．

【解】設n位數x滿足

P(x)=x²-10x-22

                                                                                                           (1)

若n≥3，則x≥10^n-1≥100，

9ⁿ≥P(x)=x(x-10)-22≥90x-22≥90?10^n-1-22

=9?10ⁿ-22＞10ⁿ

矛盾．

若n=1，則

x=P(x)=x²-10x-22

即

x²-11x-22=0

但此方程無正整數解．因此n=2．

若x≥20，則

x²-10x-22=x(x-10)-22≥10x-22≥200-22＞9²≥P(x)

因此x=10+y，y∈{0，1，2，…，9}．(1)變成

y=(10+y)²-10(10+y)-22

易知y=2，x=12．

 

B1-023  證明：如果三個正數的積為1，而它們的和嚴格地大于它們的倒數之和，那么，它們中恰好有一個數大于1．

【題說】第四屆(1970年)全蘇數學奧林匹克八年級題2．

【證】設這三個數為a，b，c，則

(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1

左邊有一個或三個因子為正．但abc=1，所以a、b、c不可能全大于1，從而a、b、c中有且只有一個數大于1．

B1-024  若干個正整數的和為1976，求這些正整數的積的最大值．

【題說】第十八屆(1976年)國際數學奧林匹克題4．本題由美國提供．

【解】設這些正整數為a₁，…，a_n，則

a₁+…+a_n=1976

不妨設a_i＜4(1≤i≤n)，這是因為當a_i≥4時a_i≤2(a_i-2)，故把a_i換成2和a_i-2不會使積減小．再注意2×2×2＜3×3，所以只需考慮積2^a?3^b，其中a=0，1，2，且2a+3b=1976．由此得a=1，b=658，故所求的最大值為2×3⁶⁵⁸．

 

B1-025  確定最大的實數z，滿足

x+y+z=5

                                                                                                           (1)

xy+yz+zx=3

                                                                                                           (2)

并且x、y也是實數．

【題說】第十屆(1978年)加拿大數學奧林匹克題3．

【解】由(1)得(x+y)²=(5-z)²，由(2)得xy=3-z(5-z)．

于是0≤(x-y)²=(x+y)²-4xy=(5-z)²-4[3-z(5-z)]

=-3z²+10z+13=(13-3z)(1+z)

因此有

-1≤z≤13/3

當x=y=1/3時，z=13/3．因此z最大值是13/3．

 

B1-026  已知a、b、c、d、e是滿足

a+b+c+d+e=8，

                                                                                                           (1)

a²+b²+c²+d²+e²=16

                                                                                                           (2)

的實數，試確定e的最大值．

【題說】第七屆(1978年)美國數學奧林匹克題1．

【解】由Cauchy不等式，

(8-e)²=(a+b+c+d)²≤4(a²+b²+c²+d²)=4(16-e²)，

即

B1-027  已知：0.301029＜lg2＜0.301030，

0.477120＜lg3＜0.477121

求2000¹⁹⁷⁹的首位數字．