巧分乳酪
來源：本站原創(chuàng) 2008-05-07 18:12:46
羅西豁然開朗，悟到圓柱形乳酪是一個立體圖形，可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動切開的部分，那么連切三刀也行。可以把第一次切開的兩塊迭放在一起，切第二刀成四塊，再把四塊跌放在一起，最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡單，幾乎可以說是平凡的。然而它給人以明確的啟示：對于有意義的切分問題，可以用有限差分演算進行研究并用數學歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現數字序列普通項公式的有力工具。今天，數字序列日益引起人們的興趣，因為它具有極其廣泛的實際應用范圍，還因為計算機能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運算。
羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時切數刀。乳酪具有如同薄餅那樣平坦的頂面。讓我們來觀察一下，根據在一張薄餅上切數刀的過程，能夠生成一些什么數字序列。假如沿著薄餅若干中線同時切數刀，顯然，同時切 n 刀至多可以切出2n塊。
若在其邊沿為一條簡單閉合曲線的任意平面上同時切下 n 刀，這種方法所切成的塊數，是否最多也是 2n塊呢？否。可以隨意畫出許多既非凸面，并且形狀各異的平面，即使一刀也可切成你所希望的塊數。能否畫出一種圖形，僅切一刀便可以切出任何有限數目的全等的塊？若能辦到，這種圖形的周長應具有什么特性，才能確保只需要一刀便可以切成全等的 n 塊？若不同時進行切分，薄餅的切分將更為有趣。你很快會發(fā)現：僅當 n〉=3 時，切 n 刀方可切成不止 2n 塊。
這里，我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當 n=1，2，3，4。。。時，可以切成的最多塊數分別是2，4，7，11。這一大家所熟悉的序列是根據下列公式求得的：
1+n（n+1）/2
其中，n 是所切的刀數。此序列的前10項（n 自0開始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。。。
請注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。
這強烈地暗示著此序列的普通項是一個二次項。
為什么說“強烈暗示”呢？因為雖然可以用有限差分演算找到一個公式，但是并不能保證該公式對于無限序列也成立。這一點尚需證明。在薄餅公式這一例子中，不難通過數學歸納法做出一個簡單的證明。
從這點出發(fā)，你可以發(fā)現大量的引人入勝的研究方向，其中有許多將導致非同尋常的數字序列，公式以及數學歸納法證明。這里有一些問題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法，最多可以切成幾塊？
1。在馬蹄形的薄餅上切 n 刀。
2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切 n 刀。
3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切 n 刀。
4。在狀如燭環(huán)狀（即中心有一個圓孔）的薄餅上切 n 刀。
5。在油炸圈（圓環(huán)）上切 n 刀。
關于以上這些問題，假設切分是同時進行的，若改成連切方式，并且允許重新安排切開的部分，其答案如何變化？
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