在各類競(jìng)賽中，各類小升初考試中相關(guān)的世界名題出現(xiàn)的概率極高，這是由小升初與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的特點(diǎn)決定，這特點(diǎn)便是：知識(shí)性，趣味性，思想性相結(jié)合。

    中世紀(jì)最有才華的數(shù)學(xué)家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比薩市的一個(gè)商人家庭。因父親在阿爾及利亞經(jīng)商，因此幼年在阿爾及利亞學(xué)習(xí)，學(xué)到不少時(shí)尚未流傳到歐洲的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。成年以后，他繼承父業(yè)從事商業(yè)，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國(guó)和意大利的西西里島。

    斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長(zhǎng)于數(shù)學(xué)研究。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)要比歐洲大陸發(fā)達(dá)，因此有利于推動(dòng)歐洲大數(shù)學(xué)的發(fā)展。他在其他國(guó)家和地區(qū)經(jīng)商的同時(shí)，特別注意搜集當(dāng)?shù)氐乃阈g(shù)、代數(shù)和幾何的資料。回國(guó)后，便將這些資料加以研究和整理，編成《算經(jīng)》（1202年，或叫《算盤書(shū)》）。《算經(jīng)》的出版，使他成為一個(gè)聞名歐洲的數(shù)學(xué)家。繼《算經(jīng)》之后，他又完成了《幾何實(shí)習(xí)》（1220年）和《四藝經(jīng)》（1225年）兩部著作。

   《算經(jīng)》在當(dāng)時(shí)的影響是相當(dāng)巨大的。這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數(shù)學(xué)著作，當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是歐洲人寫(xiě)的一部偉大的數(shù)學(xué)著作，在兩個(gè)多世紀(jì)中一直被奉為經(jīng)典著作。

    在當(dāng)時(shí)的歐洲，雖然多少知道一些阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但僅僅局限在修道院內(nèi)，一般的人還只是用羅馬數(shù)學(xué)記數(shù)法而盡量避免用“零”。斐波那契的《算經(jīng)》，介紹了阿拉伯記數(shù)法和印度人對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、平方根、立方根的運(yùn)算方法，這部著作在歐洲大陸產(chǎn)生了極大的影響，并且改變了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的面貌。他在這本書(shū)的序言中寫(xiě)道：“我把自己的一些方法和歐幾里得幾何學(xué)中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫(xiě)現(xiàn)在這本15章的書(shū)，使拉丁族人對(duì)這些東西不會(huì)那么生疏。

    在斐波那契的《算經(jīng)》中，記載著大量的代數(shù)問(wèn)題及其解答，對(duì)于各種解法都進(jìn)行了嚴(yán)格的證明。下面是書(shū)中記載的一個(gè)有趣的問(wèn)題：

    [例題1]有個(gè)人想知道，一年之內(nèi)一對(duì)兔子能繁殖多少對(duì)？于是就筑了一道圍墻把一對(duì)兔子關(guān)在里面。已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開(kāi)始生小兔子。假如一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么，一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)？

    現(xiàn)在我們先來(lái)找出兔子的繁殖規(guī)律，在第一個(gè)月，有一對(duì)成年兔子，第二個(gè)月它們生下一對(duì)小兔，因此有二對(duì)兔子，一對(duì)成年，一對(duì)未成年；到第三個(gè)月，第一對(duì)兔子生下一對(duì)小兔，第二對(duì)已成年，因此有三對(duì)兔子，二對(duì)成年，一對(duì)未成年。月月如此。

    第1個(gè)月到第6個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)是：

    1，2，3，5，8，13。

    我們不難發(fā)現(xiàn)，上面這組數(shù)有這樣一個(gè)規(guī)律：即從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)的和。若繼續(xù)按這規(guī)律寫(xiě)下去，一直寫(xiě)到第12個(gè)數(shù)，就得：

    1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

    顯然，第12個(gè)數(shù)就是一年內(nèi)兔子的總對(duì)數(shù)。所以一年內(nèi)1對(duì)兔子能繁殖成233對(duì)。

    在解決這個(gè)有趣的代數(shù)問(wèn)題過(guò)程中，斐波那契得到了一個(gè)數(shù)列。人們?yōu)榧o(jì)念他這一發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)數(shù)列前面增加一項(xiàng)“1”后得到數(shù)列：

    1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契數(shù)列”，這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)都叫做“斐波那契數(shù)”。

    在美國(guó)《科學(xué)美國(guó)人》雜志上曾刊登過(guò)一則有趣的故事：

    [例題2]世界著名的魔術(shù)家蘭迪先生有一塊長(zhǎng)和寬都是13分米的地毯，他想把它改成8分米寬、21分米長(zhǎng)的地毯。

    他拿著這塊地毯去找地毯匠奧馬爾，并對(duì)他說(shuō)：“我的朋友，我想請(qǐng)您把這塊地毯分成四塊，然后再把它們縫在一起，成為一塊8分米×21分米的地毯。”奧馬爾聽(tīng)了以后說(shuō)道：“很遺憾，蘭迪先生。您是一位偉大的魔術(shù)家，但您的算術(shù)怎么這樣差呢！13×13=169，而8×21=168，這怎么辦得到呢？”蘭迪說(shuō)：“親愛(ài)的奧馬爾，偉大的蘭迪是從來(lái)不會(huì)錯(cuò)的，請(qǐng)您把這塊地毯裁成這樣的四塊。”

    然而奧馬爾照他所說(shuō)的裁成四塊后。蘭迪先生便把這四塊重新擺好，再讓奧馬爾把它們縫在一起，這樣就得到了一塊8分米×21分米的地毯。

    奧馬爾始終想不通：“這怎么可能呢？地毯面積由169平方分米縮小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”

    將四個(gè)小塊拼成長(zhǎng)方形時(shí)，在對(duì)角線中段附近發(fā)現(xiàn)了微小的重疊。正是沿著對(duì)角線的這點(diǎn)疊合，而導(dǎo)致了丟失一個(gè)單位的面積。讀者不妨自己用紙?jiān)囈幌隆?nbsp; 

    涉及到四個(gè)長(zhǎng)度數(shù)5，8，13，21都是斐波那契數(shù)，并且132=8×21+1，82=5×13-1。多做幾次上述的試驗(yàn)，就可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的一個(gè)有趣而重要的性質(zhì)：an2=an-1•an+1±1（n≥2）,即每個(gè)斐波那契數(shù)的平方與它左右兩個(gè)數(shù)的乘積相差1。

    斐波那契數(shù)列在實(shí)際生活中有非常廣泛而有趣的應(yīng)用。除了動(dòng)物繁殖外，植物的生長(zhǎng)也與斐波那契數(shù)有關(guān)。數(shù)學(xué)家澤林斯基在一次國(guó)際性的數(shù)學(xué)會(huì)議上提出樹(shù)生長(zhǎng)的問(wèn)題：如果一棵樹(shù)苗在一年以后長(zhǎng)出一條新枝，然后休息一年。再在下一年又長(zhǎng)出一條新枝，并且每一條樹(shù)枝都按照這個(gè)規(guī)律長(zhǎng)出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有兩枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝數(shù)正好是斐波那契數(shù)。

    生物學(xué)中所謂的“魯?shù)戮S格定律”，也就是斐波那契數(shù)列在植物學(xué)中的應(yīng)用。

    下面這些例子，都落實(shí)到與小升初有關(guān)的考題中了。題目的面目各不相同，但最后都露出斐波那契數(shù)列的真面目。

    [例題3]下圖是一個(gè)樹(shù)形圖的生長(zhǎng)過(guò)程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第16行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是            ．（迎春杯賽題）

    分析與解：我在上課時(shí)經(jīng)常提到，有些題它只是表達(dá)的形式不一樣，其實(shí)只要透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)，不同的表達(dá)形式，所要揭示的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是一樣的。

    這一題的實(shí)質(zhì)是上面提到的生長(zhǎng)樹(shù)，是非常有名的裴波那契數(shù)列。

    從圖上很容易看出從第一行開(kāi)始，實(shí)心圓點(diǎn)的數(shù)量是這樣排列的：0，1，1，2，3，5……

    對(duì)于每一個(gè)空心圓點(diǎn)它到下一行只生出一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，而對(duì)于每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)它到下一行可生出一空一實(shí)兩個(gè)點(diǎn)。到第六時(shí)我們可看出這一行的五個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行必定能生出5個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)另五個(gè)是空心圓點(diǎn)，另外三個(gè)空心圓點(diǎn)還能生出三個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，因此下一行為5+3=8個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，同理下一行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)為本行的所有實(shí)心加所有空心圓點(diǎn)數(shù)，為8+5=13……不用多說(shuō)，這實(shí)際有一個(gè)非常明顯的規(guī)律：也就是這一列數(shù)從第三個(gè)數(shù)起任一個(gè)數(shù)都等于它前兩個(gè)數(shù)的和。因此結(jié)果很快可推知：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的實(shí)心圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為610。

    另外空心圓點(diǎn)的數(shù)目其實(shí)也是有一定規(guī)律的，可以列出來(lái)看一下：1，0，1，1，2，3，5，8……你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？那么第16行空心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)又是多少呢？

    [例題4]一個(gè)樓梯共有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階，最多可以邁三級(jí)臺(tái)階。從地面到最上面一級(jí)臺(tái)階，一共可以有多少種不同的走法？（華校思維導(dǎo)引計(jì)數(shù)綜合二）

    分析與解：
    這題同樣用找規(guī)律的方法，我們可以先看只有1級(jí)臺(tái)階的情況開(kāi)始：
    一級(jí)臺(tái)階，有：1種；
    2級(jí)臺(tái)階，有1、1，2，共兩種；
    3級(jí)臺(tái)階，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4種走法；
    4級(jí)臺(tái)階時(shí)，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1種；
    5級(jí)臺(tái)階時(shí)，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2種；
    6級(jí)臺(tái)階時(shí)，得到24=13+7+4種；
    即：n級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有的走法種數(shù)是它的前三種走法的和。
    由此得到，10級(jí)臺(tái)階時(shí)為274種。

    上面的方法我用另一種思路來(lái)加以說(shuō)明，可能對(duì)你有幫助。即還可用加法原理倒推，較重要。想上第10級(jí)臺(tái)階，根據(jù)題意，完成這件事情的方法可分為三類：一是從第9級(jí)臺(tái)階跨一步上去，二是從第8級(jí)臺(tái)階跨兩步上去，三是從第7級(jí)臺(tái)階跨三步上去，這三類中每一類方法都能完成“上第十級(jí)臺(tái)階”這一任務(wù)，具有典型的加法原理特征。也就是A10=A9+A8+A7，A10，A9等表示上第N級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)。

    同理可推得：A9=A8+A7+A6
                A8=A7+A6+A5
                ……
                A4=A3+A2+A1
    那么只要前三個(gè)臺(tái)階數(shù)的答案，后面的逐漸加上去就可以了。

    [例題5]對(duì)一個(gè)自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加，如此進(jìn)行直到得數(shù)為1操作停止。問(wèn)經(jīng)過(guò)9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個(gè)？（華校考題）

    分析與解：這一題首先我們可以明確的是要采用逆推的方法，其次我們還得利用找規(guī)律來(lái)歸納出計(jì)算方法。在復(fù)雜的或者步子比較多的計(jì)數(shù)中，找規(guī)律是一種非常常用的方法。
歸納總結(jié)上述規(guī)律，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。

    各位讀者，有了上面的經(jīng)驗(yàn)，你能不能看出下面幾道題的真面目。
   [考考1]如下圖，從A處穿過(guò)房間到達(dá)B處，如果要求只能從小號(hào)碼房間走向大號(hào)碼房間，那么共有多少種不同的走法？

    [考考2]有一堆火柴共 12根，如果規(guī)定每次取 1～3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

    [考考3]如下圖，小方和小張進(jìn)行跳格子游戲，小方從A跳到B，每次可跳1步或2步；小張從C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。規(guī)定：誰(shuí)跳到目標(biāo)處的不同跳法最多，誰(shuí)就獲勝。問(wèn)獲勝方的跳法比另一方多         種。

    [考考4]一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊,它每次只能跳0.5米,或1米,這只青蛙跳過(guò)水田共有多少種不同的方法？

   發(fā)現(xiàn)同學(xué)們做這類題最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是弄錯(cuò)項(xiàng)數(shù)，像第一題明明是55，但容易算成34，或89，這一點(diǎn)千萬(wàn)要注意次數(shù)與答案之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。