出發點

　　迪克之所以贏不了，是因為他始終沒搞清楚應該循著什么樣的思路去尋找出發點。飛行員可以從靠近南極的某一點出發，要求這一點滿足如下條件：向南飛100公里后，再向東飛100公里，恰好繞著南極轉兩圈而不像剛才那樣繞南極轉一圈，那么這時再向北飛，自然可以回到出發點。滿足這一條件的出發點又形成了一個新的以南極為中心的圓。同理，飛行員還可以從更小的圓上的點出發，只要能滿足飛機在向東飛時繞南極轉三圈、轉四圈……轉任何正整數的圈數都可以。可見，滿足條件的點構成了一個無窮系列的同心圓，以南極為圓心，半徑無限趨近于100公里。

　　下面是另一種關于航行的問題，它涉及到的是一種美妙的球面曲線，即所謂的“等斜曲線”或稱“等方位線”。假設一架飛機從赤道上某點出發，向東北方向飛行，那么它的最終落點在哪里？它經過的路線有多長？這個路線呈什么形狀？

　　你會驚奇地發現，飛機經過的路線是一個以不變的角度與地球子午線相交的螺旋形曲線，它最終的落點在北極。該曲線是一個球面螺旋線，它須繞北極旋轉，越轉半經越小，最后終止于北極。把飛機作為一個動點，甚至可以認為這個點繞北極轉了無數圈，那么它所經過的路線的長度也還是有限的、可計算的。所以，飛機若以不變的速度飛行，它終究要在一定的時間內到達北極。

　　對于不同類型的地圖，等斜曲線在圖上的表現形式不盡相同。在眾所周知的麥卡托式世界地圖上，它表現為直線，事實上也正因為如此，麥卡托式地圖才備受航海家們青睞。如果一條船或一架飛機在行進時保證羅盤的指針不變，那么它的行進路線表現在地圖上就是一條直線。

　　如果一架飛機從北極出發向西南方向飛行，結果將會怎樣？這個問題與上面的問題可謂互遞互補，因為它們行進路線的形狀完全一樣，只是方向相反。但有一點，我們不能肯定這條曲線交于赤道上哪一點，或者說，它與赤道上任何一點都有可能相交。這一結論可以得到證明，因為從赤道上的任何一點出發反方向飛行都可以回到北極。當然，飛機從北極出發，經過赤道之后如果繼續前進，那么它最終必然要落在南極。

　　如果我們把等斜曲線投影到與赤道平行與北極(或南極)相切的平面上，那么這時的投影線就是等角螺旋線，又稱為對數螺旋線。這種螺旋線與半徑的交角始終保持不變。

　　另一個為人們所熟知的行進路線問題是四個烏龜的問題。它也涉及到對數螺旋線，但是其中有一個形象的故事來介紹這一技巧。

　　湯姆?皮莎訓練了四個小海龜：阿娜、玻瑟、查爾斯、蒂里拉，把它們依次編號為A、B、C、D。一天，他把四個小海龜放在一間屋子的四個角落里，讓A始終朝著B所在的位置前進，讓B始終朝著C所在的位置前進，同理，C朝著D、D朝著A的方向走。他請全家人來觀看。

　　“非常有趣，我的兒子！”皮莎先生高興地說，“每個海龜都以同樣的速度徑直向它前面的海龜爬去，那么，每一時刻它們四個都處在某個正方形的角上。”(如圖2-9所示)

　　圖2-9

　　“是的，爸爸。”湯姆說，“而且這個正方形處在不斷的變化中，越來越小。看！它們即將相聚在正中心！”

　　假設每個海龜以每秒鐘1厘米的速度前進，方形屋子每邊長3米，那么請問每個海龜爬到中心用多長時間？當然，我們在解決問題時可以把一個海龜作為一個點來外理。

　　皮莎先生掏出了計算器，打算施展一下他計算的才能。這時皮莎太太嚷了起來：“不要計算了，親愛的，問題很簡單，需要5分鐘！”

　　皮莎太太怎么解答出來的呢？

　　我們簡單地考察兩個相鄰的海龜，比如A和B。A始終不相關。這與B在墻角不動、A沿著墻邊直接爬向B是一個效果。

　　上述思路是解決問題的關鍵。A經過的路線與每個墻邊的長度是一樣的。既然墻邊長300厘米，A的行進速度是每秒1厘米，那么當然需要300秒鐘，也就是5分鐘到達B處。對其它三個海龜也是如此，所以5分鐘之后，四個海龜同時到達正方形的中心。

　　借助于計算器，我們不難畫出每隔一小段時間海龜所在的位置，把每一時間間隔中四個海龜的位置依次連成線，結果便形成了如圖2-10的圖形。

　　圖2-10

　　對于所有正多邊形的角上的點，都存在類似的規律嗎？請先研究一下正三角形，再研究一下正五邊形，如果已知正多邊形的邊長，要求出一只海龜追上前面一只海龜需走過的路程長度，你能找到一個通用的公式嗎？如果是無窮多的海龜，從正無窮多邊形的角上同時出發，首尾相接依次追擊，結果將會如何？它們是否永遠也聚不到一起？再假設，最初的多邊形不是規則的正多邊形，比如四個海龜從一個矩形的四個頂點上同時出發，結果又會如何？

　　回到我們最初的例子中。如果四只小海龜在屋子中央相聚后，發現它們彼此都很厭惡，便彼此背向爬開，每只海龜都徑直遠離它左邊的小海龜，那么請問：四只海龜是否會重新回到屋子的四個角落？